高校入試問題が解けません

質問

この問題、３番までは一応解けたのですが、最後の４番がどうしても分かりません。
高校入試問題なので、中学生の知識で解かなければなりません。
１～３番まで、正しくできているかも判断していただければ幸いです。
よろしくお願いします。

回答No.2

ferien · ベストアンサー

（１）ＡＤ^2＝５^2－３^2＝１６より、ＡＤ＝４

（２）△ＡＢＥと△ＦＤＥは相似です。
角ＢＡＥ＝角ＤＦＥ＝９０度
角ＡＥＢ＝角ＦＥＤ（対頂角）
より、２つの角が等しいからです。
よって、ＡＢ：ＦＤ＝ＢＥ：ＤＥ＝３：１
３：ＦＤ＝３：１より、ＦＤ＝１
ＢＦ^2ーＢＤ^2－ＦＤ^2＝５^2－１^2＝２４
よって、ＢＦ＝２ルート６

（３）ＤＥ＝ｘとおくと、ＡＥ＝４－ｘ
（２）の三角形の相似から
ＡＥ：ＦＥ＝（４－ｘ）：ＦＥ＝３：１　より
ＦＥ＝(1/3)（４－ｘ）
ＢＥ：ＤＥ＝ＢＥ：ｘ＝３：１より、
ＢＥ＝３ｘ
ＢＦ＝ＢＥ＋ＥＦより、
３ｘ＋(1/3)（４－ｘ）＝２ルート６
両辺に３をかけて
９ｘ＋４－ｘ＝６ルート６
これを解くと
ｘ＝(1/4)（３ルート６－２）

（４）
角ＡＢＥ＝角ＣＢＧとする。……（ア）
△ＡＢＥと△ＣＢＧは相似です。
角ＢＡＥ＝ＢＣＧ＝９０度
これと（ア）より、２つの角が等しいからです。
よって、角ＡＥＢ＝角ＣＧＢ（＝角ＤＧＦ）……（イ）
角ＡＥＢ＝角ＤＥＦ（対頂角）
これと（イ）より、角ＤＧＦ＝角ＤＥＦ
よって、△ＤＥＧは二等辺三角形
角ＤＦＥ＝９０度より、
ＤＥは底辺ＧＥの垂直二等分線である。
よって、ＦＥ＝ＦＧ
（３）より、
ＦＥ＝(1/3)（４－ｘ）に
ｘ＝(1/4)（３ルート６－２）を代入してＦＥの長さを求めると、
ＦＥ＝(3/2)－(ルート6/4)＝ＦＧ
ＢＧ＝ＢＦ＋ＦＧ
　　＝２ルート６＋(3/2)－(ルート6/4)
　　＝(1/4)（７ルート６＋６）

問題が見にくかったので、意味の取り違えや間違いがあるかもしれません。
何かあったらお願いします。

お礼

問題が見にくいのに、丁寧な解答、ありがとうございます。

たいへんよく分かりました。
４の問題では３：１が使えないと思いこんでしまい、
迷宮に入ってしまいました。
４でも３：１の条件は生きているのですね。

ありがとうございました。

回答No.1

hrsmmhr

1.AD^2=BD^2-AB^2(直角三角形の三平方より）でAD=4
2.⊿ABE∽⊿FDEよりAB:FD=3:1でFD=1
1.と同様に直角三角形の三平方からBF^2=BD^2-FD^2でBF=2√6
3.DE=1/(3+1)*AD=1
4.⊿ABE∽⊿CBG∽⊿FDG
3:1=AB:FD=AE:FG=(AD-DE):FG=3:FGでFG=1
BG=BF+FG=2√6+1

お礼

早速の解答ありがとうございます。
３のDEの値は違うのでは？と思いますが、考え方は分かりました。
ありがとうございました。