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Fourier級数について
区間(-π,π]でe^(ax)と定義された関数を周期2πの周期関数に拡張して、複素型のFourier級数を求めよ、と問題があったのですが、解答と合いません。 以下に私の途中までの計算を乗せます。インテグラルの表記の仕方がわからないので、積分するところを{}で括ります。区間は()の中に書いておきます。見にくくてすみません。 Cn=(1/2π){f(x)e^(-inx)dx} (-π,π) =(1/2π){e^(ax)e^(-inx)dx} (-π,π) =(1/2π){e^((a-in)x)dx} (-π,π) =(1/2π)(1/(a-in))[e^((a-in)x)] (-π,π) =(1/2π)((a+in)/(a^2+n^2))(e^(aπ-inπ)-e^(-aπ+inπ)) となりました。ここで、f(x)のFourier級数は、 Cn・e^(inx)をマイナス無限大から無限大まで足して求めるのだと思いますが、解答ではその答えが (2sinhaπ/π){1/2π+sigma(((-1)^n/(a^2+n^2))(acosnx-nsinnx))} となっていました。 sigmaはnが1から無限大までです。 sinhaπ=(1/2)(e^aπ-e^(-aπ))という変形は知っていますが、どうしてもこの式になりません。逆算しても合わないので、最初の計算が違うのかと思ってもいます。 大変見にくくて申し訳ないのですが、どこかおかしいところがあったらご指摘ください。お願いします。
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- adinat
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Cnはたぶんほぼ確実に正解だと思います。そのあとですが、 とりあえず和を-∞から∞までとるとしてn項目の実部は (1/π)sinh(aπ)(-1)^n/(a^2+n^2))(acosnx-nsinnx)) になります。 だから (2sinhaπ/π){1/2π+sigma(((-1)^n/(a^2+n^2))(acosnx-nsinnx))} ではなくて (2sinhaπ/π){1/2a+sigma(((-1)^n/(a^2+n^2))(acosnx-nsinnx))} だと正解になると思います。 {}内の最初の項の分母がπではなくa。 なお虚部についてはフーリエ級数が収束することから0になるので、 実部だけを比較すればよいです。
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お礼
あ、わかりました。 どうもありがとうございました。
補足
和を-∞から∞までとると、何故 (1/π)sinh(aπ)(-1)^n/(a^2+n^2))(acosnx-nsinnx)) になるのですか。 e^(aπ-inπ)-e^(-aπ+inπ)の実部のみの計算ってどうやるのでしょうか。sinhaπが出てくることから e^(aπ)-e^(-aπ) で括るのだろうと思うのですが、虚部と実部の分け方がよくわからないんです。