フーリエ級数についてお尋ねします。

質問

フーリエ級数を学ぶとき、最初に周期関数に対するフーリエ級数を考えます。例えば[-π, π]というような区間の関数が[π, 2π], [2π,3π],,,というように繰り返すようなものですね。
そこで、級数の係数an, bnを積分( 区間[-π,π]) によって表示したりします。その後、フーリエ変換になってくると”周期関数を仮定する”などのような変換される関数に対する要請が無くなるようです。

質問ですが、どうしてフーリエ級数では周期関数という要請が必要なのでしょうか。フーリエ級数の積分区間は[-π, π]に限定なのだから、その区間だけ定義されていればいいはずで、その関数系が左右に繰り返される場合を考えるというのはなぜでしょうか。

回答No.2

Water_5

積分区間は[-π, π]に限定(問題を解くために）しているだけで周期関数は[-∞,＋∞]で考えてるのでは。

お礼

回答ありがとうございます。積分区間[-π,π]に限定した場合、その区間を超えたところがどうなっているのか”与り知らぬ”ということになるはずですが、[-∞,＋∞]まで左右に同じ形をした関数がずっと広がっていることを想定しなければならないのは何故か、ということですね。三角関数にそのような性質があり、それらの和で表現するからなのかなと思っているのですが。

回答No.1

f272

区間[-π,π]で定義された関数f(x)を三角関数の重ね合わせで表現するというだけなら，周期関数という要請はどこにもありません。
しかし，この級数は結局は三角関数の重ね合わせなのだから周期関数にしかならないのです。したがって元の関数f(x)の定義域を区間[-π,π]から拡張するときには，周期関数であることを仮定しなければ同じ係数では表すことができません。

お礼

回答ありがとうございます。相手（関数）の要請ではなく、手持ちの道具（三角関数）が周期関数なので、それをどのように使い回そうともその範囲（つまり周期関数という縛り）ということになってしまうという風に理解しました。

ただし、フーリエ変換とかその発展としてのスペクトル解析（実用的な波形解析）では周期関数を使って似せるというようなことを言わなくなるように思います。エリアッシングのような制限のところに効いてくるのかなとは思いますが。