無限集合の定義とべき集合の関係について

質問

• 無限集合の定義とべき集合の関係について考えましょう。
• べき集合を定義するためには元となる集合が必要ですが、全ての集合を元とする無限集合を定義することはできません。
• この問題は、べき集合と無限集合の定義が矛盾していることを示唆しています。

回答No.4

boiseweb · ベストアンサー

ちょっと問題を修正しましょう．

(a) X が「集合」なら， X のべき集合 P(X) （に限らず，X に集合演算を施して得られる集合）をつくれる．
(b) オブジェクトを集めたものは何でも「集合」である．

集合論の黎明期に発見されたパラドックスの根本は，「(b) の原理を無制限に認めたうえで (a) の原理を適用すると破綻する」ということだと理解されています．
それで，破綻をきたさないように集合論を構築するには，(b) の原理に制限を加える，つまり，「オブジェクトを集めたもの」を何でもかんでも「集合」と認めるのでなく，ある制限された範囲の「オブジェクトの集まり」だけを「集合」と呼ぶことにして，その制限された範囲内で集合論を構築する必要がある，というのが，集合論パラドックスの発見以後の合意です．
そして，「制限された範囲」を決めるときに，

(1) その範囲内の「集合」については， (a) の原理をいくら適用しても破綻しない
(2) 数学で集合を使って議論するために必要な「オブジェクトの集まり」はすべて「集合」と認める

という要請をみたすように工夫するのです．

その「工夫」をきちんとすると，結果として「すべての集合の集まり」は「集合」の仲間には入りません（入ってしまうと (1) の要請をみたせない，また，無理に入れなくても (2) の要請はみたせる）．
「すべての集合の集まり」は，そういう「オブジェクトの集まり」を考えてもいいけど，それは「集合」ではないから，べき集合などの演算は適用できない（適用できなくてかまわない）という立場をとるのです．

大学一般教養までの数学で扱う集合論では，こういう込み入った話に立ち入ることを避けています．ですから，大学一般教養レベルの数学の教科書や読み物を読んでも，完全な答は見つかりません．

ある制限された範囲の「オブジェクトの集まり」だけを「集合」とみなす，という考えを徹底して構築された集合論の理論体系は，公理的集合論と呼ばれます．
公理的集合論は日本の大学の学部では（理学部数学科でさえ）ほとんど教えられていません．そのため，数学者であっても公理的集合論を正確に説明できる人は少数です．公理的集合論の基本的な考え方を正しく知るためには，「数理論理学」あるいは「公理的集合論」を専門とする著者による入門書・専門書を参照することをすすめます．

お礼

回答ありがとうございます。

ご専門の方から素人向けに解説いただきまして感謝しております。

もともと、無限集合の濃度は下限が加算濃度アレフ０で上限が連続体濃度アレフ１だと思っていたところに、アレフ１の集合のべき集合なるものを提示され、それでアレフ２だアレフ３だ、と訳の分からないとことになりました。
べき集合などと”ワイルドカード”の様なものを出されたので「それは反則じゃないか？」と思い、べき集合があることによる矛盾を指摘し、背理法でコイツを撃退したいと考えたのですが、、、。
公理的集合論をみると、なんと「冪集合の公理」があるではございませんか！　冪集合の定義の無矛盾性に疑義があるのに、コイツの存在自体を憲法に明記して、問答無用だと言われた気分です(笑)。

ゲオルグ・カントールは「数学は自由だ！」と言ったそうですが、
「けれども、ここから先は右折禁止だ！」と言われた感じです。
なぜかを問うても「公理に書いてある」って、交通切符の警察官みたいな対応！失礼。

こんな公理系を作って良いなら、別の公理系で「冪集合はベースの集合が有限集合の場合のみ定義できる」という公理を創って、その公理系では、無限集合の濃度は下限、上限の二種類だけとしても良いですよね。少し拗ねてみたくなりました(笑)。

冗談はさておき、公理的集合論では「ある制限された範囲の「オブジェクトの集まり」だけを「集合」とみなす，」との事ですが、この「ある制限」つまり、”村八分の条件”はZF公理系（Wikipediaの説明）に見当たらないのですが、それは何処で誰が決めているのでしょうか？