- ベストアンサー
行列を対角化する問題
A=(1 -1 -3) (3 -2 -3) (-3 3 2) 行列Aを対角化せよという問題です。 特性方程式g(t)=0にして固有値を求めたらt=-1,1,2でした。 で、t=-1とt=1をtE-Aに代入して簡約化してみたら 同じ固有ベクトルのc（1 0 1）^tになりました。 こうなったらAを対角化できないのではと思います。 何べんも計算をやり直しました、結果は同じです。 どこが間違っているのかをお教えできませんか？よろしくお願いします！
- griffithxzb
- お礼率81% (78/96)
- 数学・算数
- 回答数3
- ありがとう数3
- みんなの回答 （3）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
確認してみたよっと. その行列なら固有値は -1, 1, 2 の 3個だね. で固有ベクトルは... うん, -1 に対しては (1, 0, 1)^t みたい. ということで, 1 に対する固有ベクトルの計算で「どこか」を間違えているんだろうね. あなたがどう計算したのかわからんので, 「そこが間違ってる」ことはわかるけど「どう間違えたのか」は知らん.
その他の回答 (2)
- Tacosan
- ベストアンサー率23% (3656/15482)
今確認してみたけど, 固有値から間違ってる. この行列のトレースは 1+(-2)+2 = 1 だから, 固有値の和は 1 にならないといけない. なんとなく「どこが間違っているのか」という点では「最初の行列が間違っている」ような感じがする....
お礼
申し訳ないです！行列を書き間違えました！ 正確には A=(2 -1 -3) (3 -2 -3) (-3 3 2) では、ご指導お願いします！
- Tacosan
- ベストアンサー率23% (3656/15482)
そもそも違う固有値に対して同じ固有ベクトルが出ることはありえません. つまり 「同じ固有ベクトルのc（1 0 1）^tになりました。」 というところは明らかに間違っています. というか, それって固有ベクトルなの?
お礼
はい、そこです！ でも、何回計算してもその結果になってしまいます。 恐縮ですが、ご計算を1回していただければ助かります！
関連するQ&A
- 行列((-3,-1,-5)(1,1,1)(3,1,5))の対角化
行列((-3,-1,-5)(1,1,1)(3,1,5))の対角化 ３次正方行列((-3,-1,-5)(1,1,1)(3,1,5))の対角化が可能か求めていました。 固有ベクトルを(s,t,u)(長さ=1)、固有値をλとおいて、固有値方程式を解いていくとλ(3λ-2)=0 となり、λ=0,2/3 と解が２つしか出ないのですが、対角化は可能なのでしょうか？ さらに、λ=2/3を固有値方程式に代入すると(s,t,u)=(0,0,0)になり、固有ベクトル(s,t,u)の長さ=1に矛盾してしまいます。 対角化は不可能なのでしょうか？それとも求め方が間違っているのでしょうか？どなたかアドバイスいただければと思います。宜しくお願い致します。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 行列の上三角化
次の行列の固有値は全て実数であることを確かめ、直行行列をつかって上三角化せよという問題があります 行列は １ ２ ０ ０ ２ ０ －２ ４ －１ の３×３行列です とりあえず、これをAとおき、|tE-A|を求めたところ、 t=1,-1,2となりました t=1,2の場合はtE-Aに代入し、固有ベクトルはそれぞれc[-1 0 1]とc[1 2 0]と求めることができました ところがt=-1のとき、簡約化した行列が 1 0 0 0 1 0 0 0 0 となってこの場合どう固有ベクトルを求めればいいのかが分かりません 以下の画像は私がt=-1をtE-Aに代入し簡約化する様子です 固有ベクトルは３つないと直行化して三角化できませんよね？ だから３つ固有ベクトルが必要なはずなんですけどどこをどう間違えているのか教えてほしいです （簡約化なのかその先なのか）
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 行列の対角化ができません。
行列の対角化ができません。 対角化が解りません、基本的には固有値→固有ベクトル→対角化と思うのですが、 お知恵を貸して下さい。以下問題です。 (3 3 1) (3 9 -1) (1 -1 1)の対角化です。 固有方程式を作り、サラス式で展開すると(固有方程式の変数にtを用います) t^3-13t^2+28t=t(t^2-13t+28) より固有値は0と(13±√(57))/2となります。 余因数展開で展開しても同様の結果になります。 この値からの対角化は困難に思えます。 これはどこかで計算を間違えたのでしょうか？
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 直行行列を用いた対角化
次の行列を直行行列を用いて対角化せよという問題があります 僕は右のような解答をつくりました 直行かを行う前に固有ベクトルが２つしか出てこないのでこれって直行化して対角化できないですよね？ ３×３行列なので３つ固有ベクトルがいると思います それか僕が行列の簡約化を間違えているのかもしれません いずれにせよ、固有ベクトルが３つではないのでどこがどう間違えているのか教えてください
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 行列の対角化について
行列Aが与えられていてその行列の固有値、固有ベクトルを求め、Aを対角化せよという問題があったとして、その問題を解くときに まず固有値を求め、固有ベクトルを求めるところまではいいんですが、 対角化するというときに固有ベクトルから行列Pを求め、P-1AP = 対角行列という風にすると思うんですが、この場合P-1APは実際にP-1を求めて計算する必要があるんでしょうか？ はじめから対角行列であるということがわかっているように普通に書いてもよいんでしょうか？
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 行列の対角化
┌1 －2 －2┐ A＝│1 2 2│ └(-2) 2 1┘ という行列なのですが、対角化できるのでしょうか？ 何度も何度も解きなおしてるんですけど対角化できません。 Aの固有方程式の解で重解になっているものがないので対角化は・・可能ですよね？ 固有値として-1、±√7が求まるのですが、±√7に対する固有空間を考えるとどうしても固有ベクトルとして成分がすべて0の（3,1）行列しか出てこなく、対角化行列が ┌0 0 0┐ P＝│1 0 0│ └(-1) 0 0┘ といったような行列になってしまうのですが、この場合P^(-1)が存在しないためP^(-1)*A*Pは存在しない事になり、Aは対角化不可能ということになってしまいますよね？？ 多分どこか間違った理解をしているところがあると思います。 どなたかご教授お願いできないでしょうか？
- 締切済み
- 数学・算数
- 行列の対角化 固有値を求める
次の行列の固有値、固有ベクトルの作る行列Pを求めて、対角行列に変換せよ。 A＝ ７ ４ －１６ －６ １ １２ ２ ２ －５ と言う問題で、 固有値を求めるとき、｜A－λE｜より （７－λ） ４ －１６ －６ （１－λ） １２ ２ ２ （－５－λ） となって ＝(7-λ)(1-λ)(-5-λ)+(-6)*2*(-16)+2*4*12-・・・・ としてから展開すると、計算も大変で、そのあとの 因数分解もわかりません；； どうすれば、もっと簡単に固有値を求められるでしょうか？ お願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 行列の対角化について
高校生です。 数Cの行列はだいたい理解していると思います。 独学で行列の対角化を勉強しているのですが、よくわかりません。 固有値、固有ベクトル、固有方程式の基本的は意味などはわかったつもりでいます。 対角化について、わかりやすく教えていただけないでしょうか？ よろしくお願いいたしますm(__)m
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 対角化不可能な４次正方行列
行列A= (-1,0,0,1) (0,1,0,0) (0,0,1,0) (4,0,0,-1) について。 Aの固有値を求め、それぞれの固有値に対するAの固有空間の基底を一組求めよ。また、適当な正則行列Pを求めてp^(-1)APが対角行列になるようにせよ。 という問題がわかりません。 自分で計算したところ、λ=-3,1(3重解)と出ました。 λ=-3のとき、基底のひとつはt^(1,0,0,-2)と出ました。 問題はλ=1のときです。(1*E-A)を変形したときのランクは1で、未知数4だから4-1=3>0で対角化不可能です。 このときの固有ベクトルをt^(x,y,z,w)とするならば、z=2xという関係式から t^(1,0,0,2) t^(0,1,0,0) t^(0,0,1,0) を基底に選んだのですが、これは間違っているでしょうか？ あと、この後どうやったらいいのかわかりません。 いま出した4つのベクトルを正規化して横に並べても、これはPにはならないですよね。 教えてください。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 行列の問題が解けません。計算間違いや思考の間違いがあればご指摘お願いし
行列の問題が解けません。計算間違いや思考の間違いがあればご指摘お願いします。 行列A [-3 -1 -5] [1 1 1] [3 1 5] を対角化するための行列を求めようとしようとしています。 Aに関しては、Ax=txとおき、tを対角行列、xを固有ベクトルとすると、 (tE-A)x=0と変形できるため、x≠0であるためには、 |tE-A|=0が条件になります。 これを解くと、t=0,1,2が得られます。 3次正方行列において、3つの異なる固有値が得られたため、 行列Aは対角化可能です。(前提１ この前提が間違っている？) P^-1・A・P=B (前提２：Bは対角行列、P,P^-1は正方行列) となるようなPの条件は、 (tE-A)=0を満たす行列の組み合わせ、すなわち、固有値0の時のa(1,1,-1),固有値1の時のb(1,1,-1), 固有値2の時のc(1,0,-1)(※a,b,cは任意の数)の組み合わせです。 ところが、これらの組み合わせでできる、例えば 行列C: -1 1 1 1 1 0 1 -1 -1 は正方行列ではなく(rankC=2)、C≠Pです。 そのため、行列Aを対角化することができません。 前提１，前提２のどちらかが間違っているのでしょうか。 それとも、計算をどこか間違えているのでしょうか。 求めたいのは、行列Aを対角化する行列Pです。 どなたか、よろしくお願いいたします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
はい！そうです。固有値1のところで引っかかっちゃいました。 今日もう一回計算してみたら、二日前にずっと繰り返していたミスに気づきました！ 本当にありがとうございました！