• ベストアンサー

行列の対角化について

行列Aが与えられていてその行列の固有値、固有ベクトルを求め、Aを対角化せよという問題があったとして、その問題を解くときに まず固有値を求め、固有ベクトルを求めるところまではいいんですが、 対角化するというときに固有ベクトルから行列Pを求め、P-1AP = 対角行列という風にすると思うんですが、この場合P-1APは実際にP-1を求めて計算する必要があるんでしょうか? はじめから対角行列であるということがわかっているように普通に書いてもよいんでしょうか?

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
  • KI401
  • ベストアンサー率53% (44/82)
回答No.1

ない。 固有ベクトルを並べて作ったPで対角化すれば、 固有値を並べた対角行列になることは定理で保障されている。 だから固有値・ベクトルが必要な分だけ求まれば、 「P=~によってAを対角化し、~となる。」だけでいい。

Stealth7
質問者

お礼

ありがとうございました。 そうします。

その他の回答 (1)

  • info22
  • ベストアンサー率55% (2225/4034)
回答No.2

>実際にP-1を求めて計算する必要があるんでしょうか? Pは固有ベクトルを並べただけですから、P^-1を求めて計算するのが本筋ですが省略する場合は手順だけしめして >http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1023724055 の良回答にあるように 書けばいいかと思います。

Stealth7
質問者

お礼

省略しても大丈夫なんですね。 ありがとうございました。

関連するQ&A

  • 行列の対角化について

    (4 -5) (2 -3) という行列Aがあり、この行列の固有値が2とー1、固有ベクトルが a(5),b(1)  (2) (1) となります。(ただしa,bは0でない任意実数) この行列Aを対角化するときに対角化するのに必要な行列をPであらわすと P=(5 1)    (2 1) とできるとあるのですがこのPを P=(1 5)    (1 2) とすることはできないのでしょうか?

  • 固有値、対角行列の順

    2 -2 1 -1 3 -1 1 -2 2 といったような3*3行列があって正則行列Pを求め P^-1AP(対角行列)をもてめるのですが。 固有値は1、5で固有ベクトルが求まり、正則行列Pが 求まり、P^-1APもでます。 固有ベクトルが三つ(P1、P2、P3)出ますが、正則行列Pは左からP1、P3、P2みたいに順番はどうでもいいのでしょうか? またPが求まるとP^-1APは求まりますが、 α 0 0 0 β 0 0 0 γ  のようになって計算するとα=1、β=1、γ=5になります。が、これは固有値が並んでいまして、α、β、γの順が違っていても正解なのでしょうか? 例えば、5,1,1とか ご教授願います。

  • 行列の対角化

      ┌1 -2 -2┐ A=│1  2  2│   └(-2) 2  1┘ という行列なのですが、対角化できるのでしょうか? 何度も何度も解きなおしてるんですけど対角化できません。 Aの固有方程式の解で重解になっているものがないので対角化は・・可能ですよね? 固有値として-1、±√7が求まるのですが、±√7に対する固有空間を考えるとどうしても固有ベクトルとして成分がすべて0の(3,1)行列しか出てこなく、対角化行列が   ┌0 0 0┐ P=│1 0 0│    └(-1) 0 0┘ といったような行列になってしまうのですが、この場合P^(-1)が存在しないためP^(-1)*A*Pは存在しない事になり、Aは対角化不可能ということになってしまいますよね?? 多分どこか間違った理解をしているところがあると思います。 どなたかご教授お願いできないでしょうか?

  • 対角化不可能な4次正方行列

    行列A= (-1,0,0,1) (0,1,0,0) (0,0,1,0) (4,0,0,-1) について。 Aの固有値を求め、それぞれの固有値に対するAの固有空間の基底を一組求めよ。また、適当な正則行列Pを求めてp^(-1)APが対角行列になるようにせよ。 という問題がわかりません。 自分で計算したところ、λ=-3,1(3重解)と出ました。 λ=-3のとき、基底のひとつはt^(1,0,0,-2)と出ました。 問題はλ=1のときです。(1*E-A)を変形したときのランクは1で、未知数4だから4-1=3>0で対角化不可能です。 このときの固有ベクトルをt^(x,y,z,w)とするならば、z=2xという関係式から t^(1,0,0,2) t^(0,1,0,0) t^(0,0,1,0) を基底に選んだのですが、これは間違っているでしょうか? あと、この後どうやったらいいのかわかりません。 いま出した4つのベクトルを正規化して横に並べても、これはPにはならないですよね。 教えてください。

  • 固有値が重複している行列の対角化

    線形代数の質問です。 二次行列Aを、ある正則行列Pを用いて(P^-1)APと対角化するときのPを一つ求めよ、という問題があります。ここで、Aの固有値が二つあれば固有ベクトルも二つ求まりそれらを並べることでPがわかりますが、固有値が一つしかない場合はどうしたらいいのでしょうか。 教科書の例題を見ると、A=[a1,a2](a1=[3,-1]、a2=[0,2])のとき、固有値はλ=3で、[λI-A]x=0よりx+y=0となり、固有ベクトルは[1,-1]となります。このあとどのようにして正則二次行列Pを求めればいいのでしょうか。 どなたか御回答よろしくお願いします。

  • 行列P

    行列A 3 4 5 4 についての問題を解いていたんですが、 分からなくなったので質問します。 まず固有値、固有ベクトルを求めよとなっていて 固有値 8  固有ベクトルは 4 5 固有値 -1 固有ベクトル -1 1 となりました。 それで次の問題で、(P^-1)APが対角行列となるような行列Pを求めよ となっていて P 4 -1 5 1 としました。 p -1 4 1 5 でも同じなんでしょうか?教えてください。 あと、続きで、X^3=Aとなる行列Xを一つみつけよ。 となっているんですが、 2 0 0 -1 と計算したらなりました。あっているでしょうか? 行列Pの順番をかえるとこの答えも変わってくるのですが…

  • 行列の対角化 固有値を求める

    次の行列の固有値、固有ベクトルの作る行列Pを求めて、対角行列に変換せよ。 A= 7  4 -16 -6 1  12 2  2  -5 と言う問題で、 固有値を求めるとき、|A-λE|より (7-λ) 4 -16 -6 (1-λ) 12 2   2   (-5-λ) となって =(7-λ)(1-λ)(-5-λ)+(-6)*2*(-16)+2*4*12-・・・・ としてから展開すると、計算も大変で、そのあとの 因数分解もわかりません;; どうすれば、もっと簡単に固有値を求められるでしょうか? お願いします。

  • 線形代数 行列 対角化

    対角化について質問させて頂きます。 対角化とは、 「正方行列を適当な線形変換により、もとの行列と同値な 対角行列に帰着させること。」 と説明がありました。 ここで、同値とは具体的にどのような内容を指すのでしょうか? また、対角化を求める際、 正方行列Aに対してP^-1APとなる正則行列Pを求めます。 この正則行列Pは正方行列Aより求めた固有値に属する固有ベクトル を並べたものになりますが、これはなぜですか? なぜ、固有ベクトルを並べたものが正則行列Pになるのでしょうか? 以上、ご回答よろしくお願い致します。

  • 直行行列による対角化

    先ほど質問させていただいたのですがもう一度… 次の対称行列を直行行列によって対角化せよという問題で、その行列は 1 1 2 1 2 1 2 1 1 の3行3列の行列です。 私の解き方は固有値、固有ベクトルを求め、固有ベクトルから グラム・シュミットを利用してe1,e2,e3を求め、それを縦に並べたのを Pとおき、Pの逆行列を求め、P^-1APを計算するというやり方です。 やっていて、疑問に思ったのがPと置くときe1,e2,e3の並べ方はどのように 並べても最終的な答えは変わらないのでしょうか?? 回答ではPの値は、()はルートを表しています。 1/(3) 1/(6) 1/(2) 1/(3) -2/(6) 0 1/(3) 1/(6) -1/(2) となっているのですが私は 1/(6) 1/(3) 1/(2) -2/(6) 1/(3) 0 1/(6) 1/(3) -1/(2) となっています。これでも問題なく解けますか?? また私のPの場合Pの逆行列はどうなりますか?? よろしくお願いします。

  • 対称行列の対角化

    行列Aの固有値と固有ベクトルを求めよ。また、行列Aを対角化せよ。   (3 1 1) A=(1 2 0)   (1 0 2) っていう問題で、固有値1,2,4は出したんですけど、そこから普通に固有ベクトルを出して対角化しようとしたらうまくいきませんでした。 対称行列では何か特別な方法を使うんでしたっけ? Aは3次の正方行列です。 どなたかわかる方教えてください。