曲線y=ax^2+bxを通る点（１，１）と直線ｘ＝１で囲まれた図形の体積を最小化する方法

質問

• 点（１，１）を通る曲線y=ax^2+bxについて、直線ｘ＝１とｘ軸で囲まれた図形の体積を最小化するには、どのようにすれば良いのでしょうか？
• b=1-aという関係があることがわかりますが、積分範囲の下端が-b/aか0かで大小が比較できないと思われます。この問題を解くためにはどうすればよいのでしょうか？
• この問題に対する解法やアイデアを教えていただける方、お願いします。

回答No.3

info22_

>まず(1,1)を通ることから、b=1-a …(1) と表せることはわかります。
このとき
　y=ax^2 +bx=x(ax+1-a) …(2)
このグラフは

a≦1の時　0<x≦1の範囲でx軸との交点を持たないので
　体積V=π∫[0,1] {x(ax+1-a)}^2 dx…(3)
　となります。
a>1の時　0<x≦1の範囲でx軸との交点x=1-(1/a)を持つので
体積は2つの部分の和となります。
　体積V=π∫[0,1-(1/a)] {-x(ax+1-a)}^2 dx
+π∫[1-(1/a),1] {x(ax+1-a)}^2 dx
=π∫[0,1] {x(ax+1-a)}^2 dx
と非積分関数が同じ式になるので積分を１つにまとめられて
(3)と同じ体積Vの式になります。
なので体積については
0<x≦1の範囲で場合分けしないで共通に扱えます。

Vの積分を計算すると

　V=(π/30)(a^2-5a+10=(π/30){a-(5/2)}^2+(π/8)≧π/8
となってa=5/2の時、Vの最小値＝π/8となります。
このとき(1)から　b=-3/2となります。

補足

回答ありがとうございます。何点か疑問に思ったので質問させて頂きます。
(1)この種の問題ではy軸の負の値の図形の回転体の体積も考えるのですか？
(2)だとしたら、ｘ軸との交点がx=0、ｘ＝1-(1/a)で1-(1/a)が０より小さい場合、つまり積分区間の上端が1,下端が1-(1/a)で体積V=π∫[1-(1/a),0] {-x(ax+1-a)}^2 dx
+π∫[0,1] {x(ax+1-a)}^2 dx
=π∫[1-(1/a),1] {x(ax+1-a)}^2 dx
とあらわせるから結局大小比較したときに回答者様がお答えくださった体積をV1、こちらの体積V2とするとV1<V2となるということですよね？
(3)(1)で疑問に思ったようにy軸の負の値の図形の回転体の体積も考えるという発想はx軸と曲線に挟まれた図形の回転体の体積という意味合いから考えられているのだとして、だとしたら、a<0の場合、x軸との交点がx=1-(1/a),0で積分区間の上端が1-(1/a),下端が0となり、x=1という直線の境界線の意味がなくなってしまうように思われます。そうなりますと、問題としての解釈が難しく、問題文の意味をとらえにくい内容となってしますのでこの考え方は違うように思われます。
以上のことが気になったのでお答え頂ければ幸いです。