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特殊な偏微分の仕方について
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受験生です。 ずっと昔の大学入試問題です。答えがなく、悩んでいます。 d^2y/dx^2-(a+b)(dy/dx)+aby＝0 (ただしdyやdxは微分演算子です) なのですが、おそらくa＝bとa≠bとで分けるのだと思いますが、 両者ともどのようにして解けばよいのか分かりません。 解だけは載っていまして、 y=A*exp(ax)+B*exp(bx)とy=(Ax+B)*exp(ax) でした。 とりあえず私はa=bのときをやってみまして、 (d/dx-a)^2y=0と形式的に書き直して、 (d/dx-a)(dy/dx-ay)=0 とし、 (dy/dx-ay)＝zとおいて ・(d/dx-a)z=0 ・(dy/dx-ay)=z を満たす解を探そうとしました。 上の方の式は直ぐにz=exp(ax)と出ましたが、 これを下の式に代入した後が分からなくなってしまいました。 勉強した範囲では、一階や二階の微分方程式の解は 一般解と特殊階の和で表せるということでしたが、それを元に 考えてみてもここから進みません。 質問は、以上の行き詰ってしまった所から先の解法と、 もうひとつの解であるy=A*exp(ax)+B*exp(bx)の導出方法です。 詳しい方、ご教授お願いできませんか。
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補足
回答ありがとうございます。 すみません、ご指摘の通り、y=(1/exp(β)+1）のb乗×(exp(β)/exp(β)+1)のc乗の間違いでした・・・