力学の問題ですが。。。。

質問

図のように、水平面と角45度をなすなめらかな斜面上の点Pから高さh(m)の位置より小球Aを自由落下させる。Aは点Pで弾性衝突した後、ふたたび斜面と点Qで衝突した。ただし、重力加速度の大きさをg(m/s^2)とする。
　　問(a)　PQ間の距離はいくらか。
　　　 (b) 点Qに衝突する直前のAの速さはいくらか。

という問題です。
解答をお願いいたします。。。。

回答No.1

Quarks · ベストアンサー

いろいろな解き方があるでしょうが、ここでは、斜面に平行な方向（斜面に沿って下向きに ｘ軸）と垂直な方向（添付図のｙ軸）とに運動を分解してみましょうか。

斜面に衝突した球は、明らかに水平方向に初速度ｖ0=√(2gh)で飛び出します。
ｖ0は、それぞれ
ｖ0x=ｖ0/√2
＝√(gh)
ｖ0y=√(gh)
と分解できます。

x軸方向,ｙ軸方向の加速度はそれぞれ
ax=g/√2，ay=-g/√2　となるのは明らかですから

ｖx=√(gh)＋gt/√2
ｘ＝√(gh)・ｔ＋(1/2)gt^2/√2

ｖy=√(gh)-gt/√2
ｙ＝√(gh)・t－(1/2)gt^2/√2

Ｑ点は斜面上の点なので
ｙ＝０
のはずですから
０＝√(gh)・t－(1/2)gt^2/√2
これを解いて
ｔ=…

求める距離ＰＱは、上に求めたｔにおけるｘ座標に当たります。
ｘ＝√(gh)・ｔ＋(1/2)gt^2/√2
＝…

このときのｘ、ｙ軸方向の速度も求まり、速さＶは
Ｖ＝√((ｖx)^2＋(ｖy)^2)
＝…

お礼

心から感謝します。

補足

分かりやすく書いてくれてありがとうございます。
でも、少し質問がありますが
斜面に衝突した球は、明らかに水平方向に初速度ｖ0=√(2gh)で飛び出しますのはなぜですか？これだけ教えてくださいませんか？
お願いいたします。

回答No.2

Quarks

>斜面に衝突した球は、明らかに水平方向に初速度ｖ0=√(2gh)で飛び出しますのはなぜか？

衝突後の速度が、斜面に対してθ傾いている方向だったとします。（添付図）

衝突の瞬間は、（ごく短い時間なので）重力による影響は無視できます。

ANo.1の添付図にある座標で考えますと
斜面は滑らかですから、ｘ軸方向には全く力を受けていないので、衝突の前後で、速度のｘ成分は変化しません。
ｖｘ＝ｖ'ｘ
|v|・cos45°＝|v'|・cosθ

衝突が完全弾性衝突ですから、力学的エネルギーも保存されています。
衝突の前後で、位置はＰ点の１点ですから、重力による位置エネルギーは変化しません。
∴運動エネルギーも変化していないはずです。
つまり、|ｖ|＝|v'|　が成り立つはずです。

以上のことから　θ=45°　ということが判明します。
これは、小球が斜面との衝突後、水平方向に飛び出したことを意味しています。