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解き方を教えてください[数学高校生レベル]
yyssaaの回答
- yyssaa
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回答No.5
曲線がx軸と交わる点を追加して、再度回答します。 まず、与式y=-3x^3+4の曲線のおおよその形を考えます。 x→∞でy→(-∞)、x→(-∞)でy→∞、x=0でy=4、y=0でx=(4/3)の三乗根(立方根)。 1.1^3<4/3<1.11^3から(4/3)の三乗根は1.1と1.11の間にあります。 以上からy=-3x^3+4の曲線はy軸とy=4で交わり、x軸とx=(4/3)の三乗根(1.1と1.11の間) で交わる左上がり右下がりの3次曲線ということが分かります。 次に曲線の形をもう少し詳しく調べます。 与式y=-3x^3+4の一階微分でy'=-9x^2 これは点(x,y)で曲線に接する直線(接線)の傾きを与えます。 x=0でy'=0ですからy軸と交わる点(0,4)で曲線の接線はx軸と平行(水平)になります。 もしこの曲線に、共に接線の傾きが0となる極大値と極小値があるならy'=0を満たす xは二つなければなりませんが、y'=0を満たすxはx=0だけなので、極大値と極小値が 共にあることにはなりません。 次に与式y=-3x^3+4の二階微分でy"=-18x これは点(x,y)での曲線の凹凸を表します。x<0で0<y"、0<xでy"<0ですから 曲線の形はx<0で下に凸な曲線、0<xで上に凸な曲線になり、点(0,4)は曲線の凹凸が 変わる変曲点になり、極大値でも極小値でもありません。 従って、この曲線は極値を持たないことになります。
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