熱応力の計算

質問

２枚の長さlの銅板の間に同じ長さのアルミニウム盤を接着した積層板の温度をt(℃)上昇させた時，銅板とアルミニウム板に生じる熱応力σa,σsを求めよ．ただし，アルミニウム板及び銅板の横断面積，縦弾性係数，線膨張係数はそれぞれAa,As Ea,Es αa,αsとする．
Ans. σa=-2AsEsEa(αa-αs)t/(2AsEs+AaEa) σs=AaEaEs(αa-αs)t/(2AsEs+AaEa)
この問題の正答を導くことができません．導出を教えていただけないでしょうか．
自分でも解いてみたので間違っている所も教えていただけるとうれしいです．

自分の解答
熱変形後の板の長さをl'とする．
アルミ板，銅板の熱による膨張はそれぞれαatl,αstlなので，変形後の熱応力は
　　σa=Ea{l'-(l+αatl)}/(l+αatl), σs=Es{l'-(l+αstl)}/(l+αstl)・・・(1)
荷重の釣り合いより
　　Aaσa=-2Asσs
これを計算して
　　l'=(AaEa+2AsEs)(l+αatl)(l+αstl)/{AaEa(l+αstl)+2AsEs(l+αatl)}
(1)に代入して
　　σa=Ea[(AaEa+2AsEs)(l+αstl)/{AaEa(l+αstl)+2AsEs(l+αatl)}-1]
・・・・この時点で確実に間違っていることは分かるのですが，計算ミスというより根本的に間違っている気がします．

回答No.1

okormazd

自由な場合の伸びをそれぞれ、la',ls'、合わせたときの伸びをl'とする。

la'=l(1+αat)
ls'=l(1+αst)

です。

アルミは、l'aからl'まで縮める圧縮応力、銅はl'sからl'まで伸ばす引っ張り応力です。
圧縮応力を負(どうでもいいんだが)とすると、
σa=(l'-la')Ea
σs=(ls'-l')Es

で、
σa=Ea{l'-l(1+αat)}・・・・・(1)
σs=Es{l(1+αat)-l'}
です。
「σa=Ea{l'-(l+αatl)}/(l+αatl)」、これがおかしい。何でこうしたのか理解できない。

圧縮力と引っ張り力がl'で釣り合うから、
σaAa=2σsAs
です。正負は、(l'-la'),(ls'-l')ですでに織り込み済みです。

質問者のσの決め方なら質問者の式
「Aaσa=-2Asσs」でいいです。

で、これからl'を求めれば、

l'=l{EaAa+2EsAs+(αaEaAa+2αsEsAs)t}/(EaAa+2EsAs)

で、これを(1)に代入すれば、

σa=-(αa-αs) EaEsAat./(EaAa+2EsAs)

になるんじゃないか。

基本的な流れは以上ですが、途中で計算間違いがあるかもしれないので、自分で確かめてください。

お礼

ありがとうございます．　σa=Ea{l'-(l+αatl)}/(l+αatl)｝のところは{l'-(l+αatl)}/(l+αatl)｝でひずみを出そうとしているのですが・・・