- 締切済み
積分可能条件
大学の数学の問題です。 1.x=1/2のときf(x)=1、それ以外ではf(x)=0の関数で、[0,1]で積分可能を調べよ。 2.xが有理数の時f(x)=1、xが無理数の時f(x)=0の関数で、[0,1]で積分不可能を調べよ。 ある点について連続かどうかの証明はεーδ論法でやればいいのでしたよね? 開区間、閉区間についての証明が分かりません。よろしくおねがいします。
- みんなの回答 (3)
- 専門家の回答
関連するQ&A
- 数学 積分
(1)F(x)が0≦x≦1で連続な関数である時、∫xF(sinx)dx=π/2∫F(sinx)dxが成立することを示し、 ∫xsinx/3+sinx^2・dxを求めよ。 積分区間はすべてπから0までです。 t=π-xと置くのか定石とか書いてありますが、なぜこういうことをするのですか? それと、成立することを示した後、なぜsinx/3+sinx^2をF(sinx)と置くのでしょうか? これはそうしないと解けないのですか? 詳しくお願いします。 (2)∫|1-√2-2sinΘ^2-2√3sinΘcosΘ| 積分区間πから0を求めよ。 絶対値の中を2cos(2Θ+3π)-√2にして、それで(2Θ+3π)をtとかおいて積分区間を7π/3, π/3まではわかるんですが、それから解説だと、9π/4からπ/4までを積分すればいいとなっていますが、なぜでしょうか? 周期関数はどこから区間を始めても、定積分の値は等しいとなっていますが、なぜですか? 周期関数とはsin,cosだけでで表されてるものだけをいうのでしょうか? それ以外に周期的な関数というのは存在するでしょうか? 解説お願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 連続性・一様連続性についての問題
【問】 区間I=(0,1)で定義された関数f(x)で、Iで連続であるが一様連続でないような例をひとつ挙げよ。 という問題について、f(x)=1/x という例を思いつきました。これは正しいでしょうか。 また、これがIで連続であること、一様連続でないことを証明しようと思ったのですができませんでした。この例が正しければ、証明を教えていただきたく思います。 連続であることは自明であるように思えますが、ε-δ論法を用いて証明しようとするとできませんでしたので、できればε-δ論法を用いた証明を教えていただきたく思います。 よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 連続な凸関数であるための必要十分条件
岩波数学辞典の凸関数の項で、実関数 f(x)がa≦xb≦で連続な凸関数であるための必要十分条件は、適当な単調増加関数p(x)で f(x)=f(a)+∫p(x) と書かれる。(積分区間は、aからxです。) とありますが、その証明を探してもなかなか見つかりませんでした。 分かる方がいれば、よろしくお願いします。 。
- 締切済み
- 数学・算数
- 積分 証明 問題
積分 証明 問題 (1)∫[0~π](x・sinx)dxをx=π-tとおいて求めなさい。 (2)f(x)が区間[-1,1]で連続であるとき、次の等式が成り立つことを証明せよ。 ∫[0~π]x・f(sinx)dx =π/2∫[0~π]f(sinx)dx (1)はπと求めることが出来ました。 (2)も(1)と同様に置換して証明できました。 問題にある「f(x)が区間[-1,1]で連続であるとき」に関しては 特に何も考えなかったのですが「f(x)が区間[-1,1]で連続であるとき」 とは何を言いたいのでしょうか?sinxの周期は-1から1なので、 単純にf(x)が連続のときと解釈してよいですか? 以上、ご回答よろしくお願い致します。
- ベストアンサー
- 数学・算数