位置ベクトルの始点(起点)は必ず原点?

質問

高校で位置ベクトルについて学んだ時、位置ベクトルの始点がどこにあっても良いような答案作りをしました。
むしろ始点がどこなのか明示しないようなやり方を「位置ベクトル」と呼んでいるのだと思っていました(従って成分を用いるのはベクトルの差のみに対して)。

しかし、ネットで色々検索しますと原点を始点とし、座標とベクトルの成分を必ず同一視するかのような書き方がなされているものを散見します。

高校数学において、という限定で構いませんが、そもそも「位置ベクトル」とはどんな考え方に対して使っているのでしょうか?
ベクトルの最初で「→OA=→aとする」とやりましたが、教科書の「位置ベクトル」という章はその後だったと思うのです。

回答No.4

中村 拓男（@tknakamuri） · ベストアンサー

NO.2 補足への返答です。

あまり堅く考えてもしかたがないかもしれません。

まず「位置ベクトル」という言葉は一般的には始点を原点にして
終点をモノの位置とするような幾何ベクトルです。
これ以外の意味で使う場合は誤解を覚悟するべきでしょう。

しかし、始点を原点以外に明示して、その点からの相対位置を位置ベクトル
と呼んでも、それが明示してあればなんの支障もないでしょう。

両方「位置ベクトル」と呼んでもかまわないのではないでしょうか？

もうひとつ、私が言いたかったのは、物理の一般座標のように
線形性の無い非幾何ベクトルで位置を表す場合もあるということです。
この場合、原点というものはなく、座標は数値の並びでしか
ありません。

多分高校の範疇を超えてしまいますが、こんなものも
「位置ベクトル」と呼ぶ場合が有るということを頭の片隅に
置いていただきたいです。

補足

回答ありがとうございます。
実は私は理解する側でなく、教える側でして
どういう定義が正統なのかを知りたいのです。
数学界で決まっていなくとも
高校数学なら決まっていると思うのですが。

回答No.3

alice_44

←No.2
例えばこの手→http://www.osaka-c.ed.jp/shijonawate/pdf/yuumeimondai/vector_0.pdf
の問題を解くとき、所与の点のうち適当なものを原点にとって位置ベクトルを導入するのが、
(特に、原点を明示しないと不安感のある初心者向けには)定石だが、
複合問題の他の小問との絡みで、各点の座標値が定数で与えられていたりすると、
座標平面の原点は決められているから、位置ベクトルの始点が好きに選べないような気がする
というお悩みなんだと思うな。
位置ベクトルの原点を定めるというのは、座標系を設定することの一部なので、
ひとつの図に、問題で与えられた座標系と、自分で置いた座標系と、座標系がふたつ有っては、
方眼が二重に印刷された方眼紙みたいで、そりゃややこしかろう…というのが、No.1 の答え。

補足

何度も回答ありがとうございます。

リンクの1問目のタイトルに「位置ベクトル」となっていますが
そうする理由がわからないということもできると思います。
(速さ等を表すベクトルと違って位置を表すのに使えば位置ベクトルたりうるのか)。

2問目の問題文に「Oを基準とする位置ベクトル」とありますが
他の点を基準とする位置ベクトルもありうるのか
という疑問でもあります。

なかなか自分で上手く表現できず申し訳ないのですが
ただ「ベクトル」ではなく、なぜわざわざ「位置ベクトル」と呼ぶのか
というあたりだと思います。

回答No.2

中村 拓男（@tknakamuri）

私は単純に位置を表す座標値をベクトルと捉えたもの
と考えてます。

物理では、デカルト座標だけではなく、極座標を含む
線形ではなく、ベクトルの項間の単位も一致しない
一般座標でさえベクトルとして扱うので、
この辺にこだわりはないですね。

ところで、「位置ベクトルの始点がどこにあっても良いような答案作りをしました」というのは
具体的にどのような考え方なのでしょう？

２次元、あるいは３次元デカルト座標値をそのまま並べたもの=位置ベクトル
がシンプルで良いと思うのですが、何かこだわる理由があるのでしょうか？

補足

回答ありがとうございます。

>何かこだわる理由があるのでしょうか？
原点Oを中心とする半径rの円周上の点P上の点があるとき、
「点Pの位置ベクトルを→pとし」と書くべきなのか
「→OP=→pとする」と書くべきなのか
ということです。

では、上で言うような「→OP」は(ただの)ベクトルですが
あなたの定義では、(ただの)ベクトルと位置ベクトルは何が違うのでしょうか?

回答No.1

alice_44

原点を始点にするのではなく、位置ベクトルの始点のことを原点と呼ぶのです。
図形に位置ベクトルを導入するとき、始点はどこに置いてもよいのですが、
どこかにひとつの始点が存在することは決まっています。その点を命名して
原点と呼びます。
位置ベクトルの「原点」と座標系の「原点」が別個に与えられているとしたら、
異なるものを同じく「原点」と呼んでしまっていることになります。その場合は、
「原点」の語がどちらの原点を指すのかよく注意して、話を読み書きしないと
間違いのもとになります。

補足

回答ありがとうございます。

私の考えでは、位置ベクトルはどこを原点に選んでも差し支えなく
そもそも原点を意識する必要が無いというものです。
したがって「位置ベクトルの原点」が文中に記述される筈がないのですが
それではおかしいのでしょうか?

私の説とあなたの説のどちらが正しいかは
数学的に適しているか、あるいは考えやすいか、ではなく
指導要領にどう書いてあるか、とか
検定教科書にどう書いてあるかだと思います。