数I

質問

解答が無くて困ってます。
どなたか解説をお願いします。

xの２次方程式 4x^2+2ax-a^2=0 (a≠0) が、次のxの範囲において、少なくとも１つの解を持つような定数aの値の範囲を求めよ。

(1) 1≦x の範囲
(2) x≦-1 の範囲
(3) x≦-1,1≦x の範囲

回答No.2

mister_moonlight

一般には、解の配置の問題として解く事になる。
しかし、この問題は、良く見ると方程式が解けてしまう。判別式＝5a^2だから。
従って、その方針で進んでもいいんだが、2解の大小が定まらないから、やはり解の配置として解いた方が良いだろう。

“少なくても”と言うのだから、1個でも2個でも良いから、場合わけが必要になる。

全部解く気にはならないから、最初の問題だけやっとく。

f(x)＝4x^2+2ax-a^2=0 とする。
➀　1≦x の範囲に解が2個の時
判別式≧0、f(1)≧0、軸≧1　が条件。
(2)解が1個の場合
f(1)≦0　が条件。

以上から、➀と(2)の共通範囲を求めるだけ。
この解の配置の処理方法は、教科書に載ってるはず。もう一度、復習したらよい。

お礼

お返事が遅くなってしまいすみません。
解までの導き方がとても丁寧でわかりやすかったです。参考にさせていただきながら自力で解くことが出来ました。
本当にありがとうございました。

回答No.1

Kules

この手の問題は、とりあえずグラフを描くのがいいでしょうね。

>4x^2+2ax-a^2=0 (a≠0) が、次のxの範囲において、少なくとも１つの解を持つような
というのは、
「y=4x^2+2ax-a^2=0 (a≠0)が次のxの範囲において、x軸と少なくとも１つの交点を持つような」
ということと同じと考えていいので、
例えば
1≦x の範囲でx軸と1つの交点を持つようにするためには～
みたいに考えればいいんですね。
で、2次関数の形状（というか位置）を決めるのは頂点の座標なので、
頂点の座標をaで表して、それがどこにあれば条件を満たすか考えていけばいいですね。

まだわからないところがありましたら、とりあえず自分のしたことを補足いただければ
もう少し有用な回答ができるかも知れません。

参考になれば幸いです。

お礼

回答が遅くなってしまいすみません。
参考にさせていただきながら解くことが出来ました。
とても助かりました。
本当にありがとうございました。