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パスカルの三角形 二項定理
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- Ishiwara
- ベストアンサー率24% (462/1914)
この質問は、次のようにも表現できます。 (x+y)^8を完全に(つまり、すべての係数が1となるように)展開すると、(x^6)(y^2)という項が28個出てくるのはなぜですか? 答:(x+y)^8を完全に展開すると、2^8個、すなわち128個の項ができます。この128個の項をずらりと並べるよりも、同類項ごとにまとめるほうが分かりやすいですよね。そこで、128個の中で、xが6個(つまりyが2個)のものが何個あるか、という問題を考えるわけですl。 これは「8個中6個(2個でもよい)を選ぶ組合せ」=8C6(8C2でもよい)=28となります。
- naniwacchi
- ベストアンサー率47% (942/1970)
こんばんわ。 三角形をいつも書いていると大変ですよね。 もう少し「式が展開」される様子を思い浮かべてみると・・・ (2x+ 3y)^8は、当然のことながら 2x+ 3yを 8回かけた(8乗)したものです。 (2x+ 3y)^8= (2x+ 3y)(2x+ 3y)(2x+ 3y)・・・(2x+ 3y) 右辺を展開することを考えたとき、たとえば x^8の項であれば ・1番目のかっこから 2xを選び、 ・2番目のかっこからも 2xを選び、 ・3番目のかっこからも 2xを選び、 ・・・ ・8番目のかっこからも 2xを選ぶ とすることで、(2x)^8= 2^8* x^8= 256* x^8となります。 そして、x^6* y^2のときは、 「8つのかっこのうち 6つから 2xを選び、残り 2つは 3yを選ぶ」 と考えることで、その係数が求められます。 これは「8つのものから 6つを選ぶとき(or 2つを選ぶとき)の選び方」 を表しています。 選び方の場合の数は、8C6とおり or 8C2とおりとなります。 ただ、選んでいる項自体に 2xや 3yと係数がついているので、答えは 8C6* (2x)^6* (3y)^2 の係数となります。
一般的に表すと, (ax + by)^n = (k=0→n)Σ nCk (ax)^(n-k)(by)^k n=8なので, (ax + by)^8 = (k=0→8)Σ 8Ck (ax)^(8-k)(by)^k 単純なものから考えましょう. (x + y)^2 = x^2 + 2xy +y^2 これは,二項定理を用いると,次のようにも表せます. (x + y)^2 = 2C0 x^2 + 2C1 xy + 2C2 y^2 (ax + by)^2 = 2C0 (ax)^2 + 2C1 (ax)(by) + 2C2 (by)^2 つまり,(ax +by)^8を展開すると, (ax +by)^8 = 8C0{(ax)^8}{(by)^0} + 8C1{(ax)^7}{(by)^1} +・・・・+8C8{(ax)^0}{(by)^8} もうお解りのように,8Cn(ax)^(8-n)}{(by)^n} となっています. a=2,b=3という条件で, (x^6)(y^2)の係数を求めたいので, ((2x)^6)(3y)^2)の係数として計算しなければなりません その係数は,パスカルの三角形より,28です. 8C2((2x)^6)((3y)^2) =28×((2x)^6)((3y)^2) {∵8C2=(8*7)/(2*1)=28 } =28×(2^6)(3^2)(x^6)(y^2) つまり,(x^6)(y^2)の係数は, 28×(2^6)×(3^2)を計算すれば良いというようになります. ---------------------------------------------- 8C2という記号を使っていますが,結果は同じになります もし,『(ax+by)^100で,(x^68)(y^32)の係数を求めよ』となると,パスカルの三角形だけでは,恐ろしく時間を使います. 例え,パスカルの三角形を1000乗まで暗記しても全く無意味なのです. ============================================== 以上です.
- info22_
- ベストアンサー率67% (2650/3922)
28は 2項係数(組合せ)8C2からきています。 8C2=8!/(2!6!)=8*7/2=28
えーと。 つまり「(2x+3y)^8においてx^6y^2の係数は?」という問題だということですよね? 「パスカルの三角形」自体は理解できていますか?これは(a+b)^nのときの各項の係数の並びですよね。 n=8でいうと、「1、8、28、56、70、56、28、8、1」ですから、 (a+b)^8 = a^8 + 8a^7b+ 28a^6b^2 … となります。 x^6y^2は7項めにきますからパスカルの三角形では7つ目の「28」にあたります。 なので 28×(2x)^6×(3y)^2 となるわけです。
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