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数Iの三角形の成立条件の問題について
【問題】 a=x、b=2、c=1の三角形ABCを考える (1)三角形ABCが存在するようなxの値の範囲を求めよ (2)三角形ABCが鋭角三角形となるようなxの値の範囲を求めよ (3)三角形ABCが鈍角三角形となるようなxの値の範囲を求めよ (3)の解法についての質問です。 【解答】 (1)x<2+1かつ2<1+xかつ1<2+x よって1<x<3 (2)1^2<2^2+x^2 かつ 2^2<x^2+1^2 かつ x^2<1^2+2^2 すなわち、3<x^2<5である x>0なので√3<x<√5 (3)1^2>2^2+x^2 かつ 2^2>x^2+1^2 かつ x^2>1^2+2^2 すなわち、x^2<3 または 5<x^2である これと(1)の結論を合わせて 1<x<√3 または √5<x<3 (3)で(1)の結論を引き合いに出しているのは、「三角形ABCは鈍角三角形である以前に三角形でなければならないから」ということでいいのでしょうか。 それなら、(2)でも引き合いに出していい気がするのですが… 解答の補足欄には「(2)の解は自動的に(1)の結論を満たしている」とあるのですが、自明だから書かなくてもいい、ということなのでしょうか?
- asd0pse
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正の数a,b,cが a^2+b^2>c^2を満たすとき (a+b)^2-2ab>c^2 (a+b)^2>c^2+2ab>c^2 a+b,cはともに正の数であるから a+b>c となります。 つまり、 a^2+b^2>c^2 かつ b^2+c^2>a^2 かつ c^2+a^2>b^2⇒a+b>c かつ b+c>a かつ c+a>b となり、自動的に三角形となるための条件を満たします。 まあ、これが自明かといわれると少し考える必要があるかも。 証明しておいたほうがよいかもね。
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補足
なるほど!すごく分かりやすい説明ありがとうございます(*^^*) では、(2)も(3)と同じように(1)を引き合いに出したほうが確実ということですね? やはり最後に「これは(1)の結論を満たす」くらい書いた方がいいってことでしょうか