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三角比の問題
最近三角比について習いました。 公式は覚えたのですが問題として出されるとよく分かりません。 その問題がこれです。 半径10の円に内接する正n角形の1辺の長さを求めよ。 また、円の中心Oから正n角形の1辺 に下ろした垂線の長さを求めよ。 ※この問題には最初から図は与えられていません。 解説お願いいたします。
- libroramerx
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他にも解き方はありますが、「最近三角比について習いました」を考慮してお話ししておきますね。 【画像】参照しながら読んでみてください。 ●多角形そのものが「正n角形」ということ→「n個の内角、n本の辺を持つ」ということは大丈夫ですね。 ・正n角形の一辺「AB=x」としておきますよ。 ・△OABは…(半径OA=半径OBなので)二等辺三角形ですよね。 ・OBをOの方向へ延長し、Bと反対側の円との交点をPとしますね。(簡単に言うとOAを含んだ円の直径) ・△PABは…(円周角の定理より∠ABP=∠R)の直角三角形ですね。 ・また、確か…PB=20(円の直径)なので、ここで「三角比の公式」と使って^^v。 ●次に、もう一つの質問についてですが…こちらは上の答えが出せると簡単ですよ。 ・OからABへ下した垂線の足Hとしますね。 ・「二等辺三角形は頂角の二等分線は底辺を二等分する」から点HはABの中点になっていますよ。 ・△AOHと△APBってよく見ると…相似ですね^^A、更に相似比もお分かりになりましたか^^A? →△AOHのOAと対応しているのは△APBのどこでしょうか? ・上のことを踏まえると、…線分PBの長さを求めてしまってからOH=yとでもおいてからOH求めた方が近道ですね。 →ここで再び「三角比の公式」を使って^^v。 ―(ちょっと余談ですが、無理に△OAHについて三平方の定理は計算きついですね、、しかも「三角比を最近学んだ」ようなので^^) ★ということで、一応最後に答えておきますよ。【画像】みながら確認してみてくださいね。 ●多角形はn角形なので、n個の内角にn本の辺で成り立つ。 →(ここでは、あえて一つの内角よりも、円の中心を利用した)∠AOB=2π/n →(円周角の定理…弧ABに対する円周角はその中心角∠AOBの半分より)∠APB=θ=π/n →△APBは∠B=∠Rの直角三角形なので、sinθ=AB/AP=x/20 だから、x=20sin(π/n) →求める辺の長さは「20sin(π/n)」 ●△AOH∽△APBが成り立つ。 →(AO:AP=1:2なので…)その相似比は1:2、ということはOH:PB=1:2 →上と同じようにして(三角比から求めると)、cosθ=PB/AP=y/20 だから、y=20cos(π/n) →(相似比から)OH:y=1:2 だから、OH=10cos(π/n) …本当は、中点連結定理を使ってもいいと思いましたが…あえて「三角比」からの解答でした^^A。
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- nattocurry
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正n角形の一辺の両端と、円の中心を結んだ三角形を考えましょう。 二辺が円の半径で、一辺が正n角形の一辺の、二等辺三角形です。 半径と半径で挟まれいる角の大きさは解りますよね? 円の中心から対辺の中点に線を引くと、2つの直角三角形に分けられます。 一辺は円の半径、一辺は正n角形の一辺の半分、一辺は問題の中で出てきた垂線。 あとは、あなたが覚えた公式とやらに当てはめれば、答えは出ます。
お礼
お礼が大変遅れてしまって申し訳ありません。 解答ありがとうございました。
- blue_rose
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こんにちは 宿題? ヒント ・円に内接する正n角形の一辺をABとすると、△ABOの∠BOAは? ・△ABOは、二等辺三角形だよね? ・OからABにおろした垂線の交点をPとすると、△APOについて考えれば、答え出るんじゃない? AO、BOの長さと、∠AOP、∠POBは、問題から与えられているよね? あとはsin、cos使えば、こたえでるよね。
お礼
お礼が大変遅れて申し訳ありありません。 解答ありがとうございます。
- yukaru
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図を描けばわかります 正n角形だとなんなので正4角形と正5角形くらいでも描けばいいですよ で円に接する部分と円の中心Oは10となるので三角比を使うという感じです
お礼
お礼が大変おくれてしまって申し訳ありません。 解答ありがとうございました。 参考になりました。
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お礼
お礼が大変遅れてしまって申し訳ありません。 解答ありがとうございます。 さらに図まで添付していただき非常に助かります。 いまさらですがとても分かりやすい解答だったためベストアンサーに選ばせて いただきました。