選択公理を使った証明。

質問

以下の証明を詳しく教えてください。

fをAからBの写像とする。
fが全射であるとき、またそのときに限りf○s=I_Bとなるような写像s:B→Aが存在する。

fが全射であると仮定する。
すると、Bのどの元bに大してもその原像f-1(b)は空でない
したがって、f-1(b)=A_b(bはBの要素)とおけば、A_bは空でない集合からなる集合族となる。ゆえに選択公理より、Bで定義された写像sですべてのBの要素bに対してs(b)=A_bとなるものが存在する。s(b)⊂ A_b ⊂ Aであるから、このsに対してf○s=I_bが成り立つ。

これは、Aを集合系だと仮定してますよね。

この証明を詳しく解説してくださるとうれしいです。

回答No.7

Caper · ベストアンサー

● ANo.3 の [ お礼 ]欄 において、statistics_road さん は次のとおりに記述なさいました。「 f^{- 1}(b)というのは f における b の原像ですよね。これは写像ですから個々の b に対して 1つずつ 設定されているわけですよね 」

　 ここでつまづいているようですね。一般に、f^{- 1} は写像である場合もありますし、そうでない場合もあります。

　 確実に言えることは、この f^{- 1} は「 f の逆対応 」あるということです。この逆対応については、「 集合・位相入門 」26ページ で説明されています。
　 この f の 逆対応f^{- 1} が写像となるための必要十分条件については、34ページ の 定理4 で説明されています。

　 定理4
　 写像f: A→B の 逆対応f^{- 1}: B→A が写像となるための必要十分条件は、f が A から B への全単射であることである。またそのとき、f^{- 1} は B から A への全単射となる。

　 34ページ には、次の記述も見られます。

　 f: A→B が全単射である場合、定理4 によってその 逆対応f^{- 1}: B→A も写像となるが、それを f の逆写像という。

● 以上のことをふまえて、再び 48ページ の 定理7 (a) における ⇒ の証明について考えてみましょう。

　 仮定では、f は全射となっています。全単射とは明記されていません。ですから、この場合の f の 逆対応f^{- 1} は写像である場合もありますし、そうでない (= "単なる" 対応である ) 場合もあると、考える必要があります。
　 仮定では、f は全射となっていますから、集合B から任意に取り出した要素を b と表わすことにするとき、f による b の 原像f^{- 1}(b) = A_b は空集合ではありません。ですから、A_b が含む要素の数は 1個 以上であるということです。もちろん、A_b は 集合A の部分集合です。
　 そして、B から任意に取り出した 2つ の要素を b, b' と表わすことにするとき、b ≠ b' ならば A_b∩A_b' = φ です ( もし A_b∩A_b' ≠ φ ならば f は写像ではなくなってしまいます )。よって、すべての b ∈ B の f による原像をかき集めた和集合は、直和という形になります ( 直和の説明については、16ページ をごらんください )。もちろん、直和という形になっているその和集合は、集合A と等しくなります。

お礼

ありがとうございました。疑問が解決しました！
f^-1(b)は写像ではなく対応だったわけですね…。そこらへんがごっちゃになっていたようです。
機会があればまたよろしくおねがいします。何度も丁寧にありがとうございました。

回答No.6

alice_44

＞ 申し訳ないですが、記入ミスでした。

はたして、単なる記入ミスかな？
s( ) がどんなものだか掴めていないように見えるけど。

お礼

ご指摘ありがとうございます。
もう一度租借しておきます。

回答No.5

Caper

ごめんなさい。ANo.3 の下から 2番目 の ●項目 における訂正です。

　 以下における ⇒ の証明は、あくまでも参考までにと、私が考えたものです。

　 f: A→B が全射であるとします。このとき、集合B から任意に取り出した 要素b に対して、★ f^{- 1}(b) ≠ φ が満たされます。…

回答No.4

Caper

ANo.3 における画像に少し問題がありました。補修した画像をここに投稿します。

回答No.3

Caper

● まず「 A を集合系と仮定していますよね 」というご質問に対して。

　 おそらくそういうことはないであろうと、私は思います。

　 g が 集合P から 集合Q への写像であるとするとき、すべての q ∈ Q に対する 原像 (= 逆像 ) g^{- 1}(q) の和集合は直和となります。そして、この直和 は P と等しくなります。このことが statistics_road さん を苦しめているかもしれませんね。

　 [ 補記 ]
　 上で述べた 写像g は全射である必要はないと、私は思います。その理由は次のとおりです。
　 g^{- 1}(q) = φ を満たす q が 1つ より多く存在したとしても、φ∩φ = φ であることから、すべての q ∈ Q に対する g^{- 1}(q) の和集合はやはり直和になると、私は思うからです。

● このご質問は、松坂和夫 著「 集合・位相入門 」( 岩波書店 ) 48ページ 定理7 (a) についてのものですよね。

　 この数学書では、
1) 集合系は、「 集合の集合 」であると定義されています。
2) 族は、写像であると定義されています。
3) 直積は、写像の集合であると定義されています。
4) 選択公理 (= 選出公理 ) は、[ 添付画像 1# ] と紹介されています。
5) I_B は、「 集合B の上の (= 集合B における ) 恒等写像 」であると定義されています。

　 以上の言及がなされていないと、回答する側にとってはいくぶんつらいかもしれません。

● ご質問の文章の中に、誤記と思われる個所が 2つ ありました。

　 f が全射であると仮定する。
　 すると、B のどの 元b に対してもその原像 f^{- 1}(b) は空でない。
　 したがって、f^{- 1}(b) = A_b (b は B の要素 ) とおけば、
　 A_b は空でない集合から成る集合族となる。
　 ゆえに、選択公理より、B で定義された 写像s で
　 すべての 要素b に対して ★ s(b) ∈ A_b となるものが存在する。
　 s(b) ⊂ A_b ⊂ A であるから、
　 この s に対して ★ f○s = I_B が成り立つ。

● 以下における ⇒ の証明は、あくまでも参考までにと、私が考えたものです。

　 f: A→B が全射であるとします。このとき、集合B から任意に取り出した 要素b に対して、f^{- 1}(b) = φ が満たされます。すなわち、∀b ∈ B(f^{- 1}(b) ≠ φ) という全称命題が真となります。
　 ここで、f^{- 1}(b) = A_b と置くことにします。このとき、∀b ∈ B(A_b ≠ φ) という全称命題が真となります。
　 よって、選出公理によって、[ 添付画像 2# ] ≠ φ が満たされます。
　 よって、[ 添付画像 2# ] から任意に 1つ の 族 [ 添付画像 3# ] を取り出すことができます。この族の 値域 [ 添付画像 4# ] はもちろん A の部分集合です。
　 よって、この族を B から A への写像として取り扱うことができます。そして、この族を s とおけば、f・s = I_B が満たされます。

● 以上における私の記述がまちがっていましたら、ひらにごめんなさい。また、私の記述の中にわかりにくい個所・まちがいではないかと思われる個所がありましたら、[補足]機能 を利用するなどして、遠慮なくご指摘ください。

お礼

丁寧にいろいろとご指導本当にありがとうございます。

>f^{- 1}(b) = A_b と置くことにします。

ここなんですけど、f^-1(b)というのはfにおけるbの原像ですよね。
これは写像ですから個々のbに対して一つずつ設定されているわけですよね。
これをA_bと置くということは、Bによって添数つけられた族(A_b)b∈Bで、Bの各元bにおいてとる値A_bがそれぞれ集合である必要があるんですよね。これはAの各々の要素が集合だと解釈されているのですか？

回答No.2

alice_44

s(b) = A_b でも
s(b) ⊂ A_b でもなく、
s(b) ∈ A_b でなくては。

お礼

申し訳ないですが、記入ミスでした。忠告ありがとうございます。

回答No.1

rinkun

具体的に何が疑問ですか。質問の内容から疑問点が把握できません。特に
> これは、Aを集合系だと仮定してますよね。
の部分が理解不能です。「集合系」をどういう意図で使っているか教えてください。

なお、{A_b}が集合になる理由が疑問なら、置換公理によりますね。

お礼

回答ありがとうございます。もやもやしてて何がわからないかすらわからない部分があって他人任せな質問をしてしまいました。
以後気をつけようと思います。忠告ありがとうございます。

置換公理ですか…初めて聞きました。調べてみます。