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初期高度がある場合の斜方投射
yokkun831の回答
- yokkun831
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(1) yがxの２次関数であるとき， y = ax^2 + bx + c = a(x^2 + b/a・x ) + c = a { x + b/(2a) }^2 - b^2/(4a) + c = a { x + b/(2a) }^2 - (b^2 - 4ac)/(4a) いわゆる「平方完成」をすると，x = -b/(2a) のとき a > 0 ならば，最小値 - (b^2 - 4ac)/(4a) a < 0 ならば，最大値 - (b^2 - 4ac)/(4a) をとることがわかります。なお，y=0から２次方程式の解の公式を得ます。 L^2 は t^2 に関する２次関数なのです。 もちろん，t^2について微分してゼロとおいても，L^2が極値となるt^2を求めることが可能ですが，「平方完成」は２次関数においてはよくとられる方法ですね？ (2) 初速度を(Vx，Vy)とおくとき， x = Vx t y = Vy t - 1/2・gt^2 です。すると，これらから Vx t = x Vy t = y + 1/2・gt^2 ２乗して辺々加えると， (Vx^2 + Vy^2) t^2 = x^2 + (y + 1/2・gt^2)^2 すなわち， v0^2 t^2 = x^2 + (y + 1/2・gt^2)^2 ここで，x = L，y = -h とおくと，L^2の式を得ます。 つまり，ここまでの議論ではLが最大飛距離であることは，そう定義をしただけでそのことを何も用いてはいません。つまり，L^2の式を出した時点では，単に時刻 t の位置が(L，-h)であることを式で示しただけなのです。したがって，あらためてL^2を最大とするt^2を求めるという過程をたどったのです。 (3) >最大飛距離を得るための角度は、初速の大きさ、そして初期高度に依存するということですよね。 もちろん，そういうことです。とてつもなく高いところからできるかぎり遠くへ飛ばそうと思ったら，水平に打ち出すべきだ…というのは自明に思えませんか？ 実際， cosθ = √[ (L0 + 2h)/{ 2(L0 + h) } ] = √[ (2 + L0/h)/{ 2(1 + L0/h) } ] → 1 （h→∞） これを認めるなら，適当な高度では，0 < θ < 45°の範囲の適当な打ち上げ角で最大飛距離となるだろうことが推察されます。
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