べき級数展開について

質問

ランダウリフシッツの力学を読んでいます。
その中で、

L(v^2 + vε + ε^2)をεの冪で展開して高次の微少量を省略すると、
L(v^2) + {∂L}/{∂v^2} * 2vε　となる、

とあるのですが（7ページ下部）、これはどういうことでしょうか

εのべきで展開するということの意味がよくわかりません。
どなたかご教授願います。

回答No.2

noname#138941

vを1つの値に固定して、新しい記号f(ε)=L(v^2+2vε+ε^2)を用意しておけば分かりやすいのではないでしょうか。
f’(ε)=(2v+2ε)L’(v^2+2vε+ε^2)
なので
f’(0)=2vL’(v^2)
です。
したがってfをマクローリン展開すると
f(ε)=f(0)+f’(0)ε+…
=L(v^2)+2vL’(v^2)ε+…
これの1次までの部分和は
L(v^2)+2vL’(v^2)ε
です。
質問文にある記号∂L(v^2)/∂(v^2)が微分係数L’(v^2)と同じものなのであれば、これで求める式が得られたことになります。

回答No.1

noname#138941

L(v^2+vε+ε^2)ではなくてL(v^2+2vε+ε^2)のような気がしますが、どうですか。
εの冪での展開は、εに関するマクローリン展開のことだと思います。

補足

>> L(v^2+vε+ε^2)ではなくてL(v^2+2vε+ε^2)のような気がしますが、どうですか。
その通りです。すみません。書き間違えました。

>>εの冪での展開は、εに関するマクローリン展開のことだと思います。
この部分があまりよくわからないのですが、
L(v^2+2vε+ε^2)
= Sigma_{n=0}^{∞} {∂L(v^2)/∂(v^2)}/{n!} * (v^2 + 2vε+ε^2-v^2)^n
= Sigma_{n=0}^{∞} {∂L(v^2)/∂(v^2)}/{n!} * (2vε+ε^2)^n
としてε^2の項を無視した形とした感じであってますか？

通常のテイラー展開の形でいうと v^2+2vε+ε^2 = v^2 まわりで展開したと解釈してみたのですが、どうでしょうか。これだとεについてのって辺りが全然絡んでないんですが、一応うまくいった感じなのですが・・・。

なにぶん素人なもので、とりあえずこの辺りのことを詳しく教えていただけると嬉しいです。