トランプのバランス

質問

物理カテかとも思いましたが、素数に関する本に出てくる記述なので、こちらで質問させていただきます。

テーブルの上にトランプが重なって置いてあります。
上から一枚目のカードだけを、山から落ちないように右方向にずらすとした場合、ちょうどカードの２分の１の長さまでずらすことができると思います。
次に、上から一枚目のカードをその状態で乗せたまま、上から２枚目のカードを山から落ちないように一緒にずらすと、新たにカードの４分の１の長さ分をずらすことができるでしょう。
同じく、１枚目と２枚目を乗せたまま３枚目をずらすと、新たにカードの６分の１の長さ分をずらすことができます。
これは、支点（トランプの山の端）を中心にして左右のカードの長さ（重さ）の合計が同じだからだろうと思います。

次が質問です。
１枚目・２枚目・３枚目を乗せたまま４枚目をずらすと８分の１の長さを新たにずらすことができる、と本に書いてあるのですが、この理屈がよくわかりません。

カード１枚の長さを２４とした場合、支点の左側には「４８分の４９」つまり、２枚以上の重さが残っていることになります。
支点の右側には「４８分の４７」です。
一番上のカードが支点よりも４８分の１右側にはみ出していることになりますが、単にトランプ自体の長さ（重さ）以外に、これが何か関係しているようにも思われます。
ただ、ずぶの素人で全くわかりません。
これが重さにどのように関係してくると考えればよいのでしょうか。

ややこしい文章かもしれませんが、よろしくお願いいたします。

回答No.12

stomachman · ベストアンサー

ANo.3のコメントについてです。

＞　重心の左右に同量のトランプの重量が存在しなければバランスがとれない、と考えていた私の考えが初歩的な間違いであった

　そのようですね。重心の左右に同量の重量が存在するとは限らない。さらに、どうやら「重心」と「支点」を混同してもいらっしゃるようです。

> そういえば、重さが違っても距離が離れるとバランスは取れますしね。

　仰る通りです。
　重心が支点の所に来れば、丁度バランスが取れる。なので問題は、支点に対して重心がどこにあるかです。
　重心の位置の計算の仕方はANo.3に示しました。けれども、もっと直感的な（しかし要領が悪い）やりかたで、n枚目のトランプをずらした時点でどうなっているかを計算し直してみましょう。

　以下、支点（この場合はn+1枚目のトランプの右端）を位置の基準(0cm)にします。また、ANo.3の通り、トランプの幅は2cmとします。だから各トランプ1枚の重心は、そのトランプの右端から左に1cmのところにあるわけです。なので、トランプの右端の位置から1cmを引いたものが、そのトランプの重心の位置です。

　1枚目のトランプは　(1+1/2+.....+1/n)cmだけはみ出しているのだから、1枚目のトランプの重心の位置は支点より右に((1+1/2+.....+1/n)-1) cmのところにある。
　2枚目のトランプは　(1/2+1/3+.....+1/n)cmだけはみ出しているのだから、2枚目のトランプの重心の位置は支点より右に(1/2+1/3+.....+1/n)-1) cmのところにある。
　3枚目のトランプは　(1/3+.....+1/n)cmだけはみ出しているのだから、３枚目のトランプの重心の位置は支点より右に(1/3+.....+1/n)-1) cmのところにある。
　以下同様。

　どのトランプも重さは同じなので、1～n枚目までのトランプを合わせたもの全体の重心の位置x (cm) はこれらの合計で、支点より右に
x={(1+1/2+1/3+.....+1/n)-1}+{(1/2+1/3+.....+1/n)-1}+{(1/3+.....+1/n)-1}+.... +{(1/n)-1}
cmのところにあるわけです。{ }で括った各項が1枚のトランプに対応しているんで、n個の項の和になってます。
　各項の最後の「-1」の部分だけを集めると、n項あるんだから合計 -n になります。だから
x={(1+1/2+1/3+.....+1/n)+(1/2+1/3+.....+1/n)+(1/3+.....+1/n)+.... +(1/n)} - n
　{ }の内側に注目しましょう。1が1個、1/2が2個、1/3が3個, …, 1/nがn個あるので、それぞれを集めると
x={1×1+2×1/2+3×1/3+...+n×1/n} - n
　ところが1×1, 2×1/2, 3×1/3, ..., n×1/nはどれも1ですから
x={1+1+1+...+1} - n = n - n = 0
　というわけで、上からn枚のトランプ全体の重心は、n+1枚目の右端の位置にあるということになります。

お礼

ご回答ありがとうございます。

＞直感的な（しかし要領が悪い）やりかた
：
は面白かったです。
多彩な考え方ができるものですね。
全体の流れとしては理解できたと思うのですが、
＞どのトランプも重さは同じなので、1～n枚目までのトランプを合わせたもの全体の重心の位置x (cm) はこれらの合計
：
となる理屈がわかりませんでした。

因みに、
４枚目をずらす場合を考えるとき、右にはみ出すことが可能な重さは、長さに換算すると、
1/2 + 2(1/4) + 3(1/6) + g ＝２ となると思います。
計算結果としては g =1/2　となります。

カードの実際の長さとして右側にはみ出しているのは、
２、３、４枚目がそれぞれ1/8ですが、１枚目は2/24　になるでしょう。
１枚目の左端は支点から1/24離れていますから重さとしては含まれないはずです。

しかし、４枚目なので g=4x と考えてみた場合、＃１さんお示しのように、
1/2 + 2(1/4) + 3(1/6) + 4x ＝２
で、x=1/8 となります。

お陰さまで支点を得るには距離も勘案する必要があることには気づいたのですが、
上記の例の場合、
1/24　支点から右にはみ出している空白部分が、物質が存在しないにも拘らず　1/24分の重さを代替していることになるでしょう。
これを直感的に理解したい、あるいは（理解できないにしろ）計算式としての証明がないものだろうかという欲求も生じてしまうのですが、考え方がおかしいでしょうかね。

補足

こちらの欄をお借りいたします。

ご回答いただいたみなさん、本当にありがとうございました。

素人の稚拙な質問にも拘らず、何度も、懇切丁寧なご説明を賜り感謝いたします。
みなさんのご回答を何度も読むうちに、少しだけ納得の方向に進めたような気がします。

モーメントについての式は理解できませんでしたが、真理というのは美しく整っているものだという印象を受けました。
わかりやすい平易な表現での解説もあり、大変助かりました。
式と平易さのバランスという点で、BA を決めさせていただきましたが、本当はみなさんお一人お一人に差し上げたい気持ちです。

今後も幾度か出没するかもしれませんが、これに懲りずにまたよろしくお願いいたします。

回答No.5

B-juggler

こんばんは。Ｎｏ．２　です。

失敬失敬、計算間違いです。

「トランプの重さは均一とし、幅を１とする」

で考えて見ます。

１枚目）

当然　右　１／２　　左　１－（１／２）＝１／２　でつりあう。

２枚目）

右　（１／２）＋（１／４）　＋（１／４）　＝　１　
　　ここ一枚目　　　　　　　　　これ２枚目
左　｛１－（１／２　＋　１／４）｝＋｛１－（１／４）｝＝１　でつりあう。
　＝（３／４）＋（１／４）ね

３枚目）

右　（１／２）＋（１／４）＋（１／６）　＋（１／４）＋（１／６）　＋　（１／６）

　＝　３／２

左　｛１－（１／２）＋（１／４）＋（１／６）｝　＋｛１－（１／４）＋（１／６）｝

　　＋１－（１／６）　＝　３／２　でつりあう。

とここまで、説明なしできました。

３枚目の計算をちょっと見てくださいｍ（＿　＿）ｍ

右　（１／２）＋（１／４）＋（１／６）　＋（１／４）＋（１／６）　＋　（１／６）

　＝（１／２）　＋　２×（１／４）　＋　３×（１／６）　となっていますね。

左　も展開すれば

　　｛１－（１／２）｝＋｛１－２×（１／４）｝＋｛１－３×（１／６）｝

となりますね。

で、４枚目

右　（１／２）＋２×（１／４）＋３（１／６）＋４（１／８）　＝２

左　同様に、１つずつ　１－（１／２）とやっていき・・・　＝２

　｛１－（１／２）｝＋｛１－２×（１／４）｝＋｛１－３×（１／６）｝・・

　　・・＋｛１－４×（１／８）｝　＝２　これ結構疲れる　ヽ（・∀・）ノ　

つりあいそうです。

Ｎｏ．１さんがかかれていた、　４ｋ　だっけかな？

ｋ＝（１／８）　にしないとつりあわない。　こういうことだと思います。

少し一般化しておきます。

ｎ枚ずらすとします。　当然ｎ＝１，２，３，４，５・・・・　です

右）
（１／２）＋２×（１／４）＋・・・・（ｎ－１）×｛１／「２（ｎ－１）」｝＋ｎ／２ｎ

　結局　（１／２）　×　ｎ　になるはずです。

左）　１－（１／２）×ｎ＝（１／２）　×　ｎ　　でつりあう。

最初から、式を立てて計算すればよかったね・・・。スイマセン。

(=^. .^=)　ｍ（＿　＿）ｍ　(=^. .^=)

お礼

ご回答ありがとうございます。

＞で、４枚目

右　（１／２）＋２×（１／４）＋３（１／６）＋４（１／８）　＝２
：
この場合なんですが、一番上のカード長は
（１／２）＋（１／４）＋（１／６）+（１/１２）＝１
なので、
（１／８）に該当する部分が無いと思うのです。
一枚目の右端から支点（山の端）までは　１+（２４分の１）になると思います。
ただ、この（２４分の１）の部分は一枚目のカードの長さには含まれていない（＝山の端からはみ出している）部分なので、カード自体の長さ（重さ）としては、換算できないと思い悩んでいるわけです。＾＾；

回答No.4

hrsmmhr

崩れるかどうかは、回転するかどうかであって
モーメントの計算をするのではないでしょうか？
トランプの厚さを無視して4枚目のときには
長さｌ、線密度k、支点からの最短の距離xのモーメントの計算は
1/2k{(l+x)^2-x^2}ですので

でっぱているほう
1枚目が1/2k{(1+1/24)^2-(1/24)^2}
2枚目が1/2k{13/24)^2
3枚目が1/2k(7/24)^2
4枚目が1/2k(1/8)^2

残っているほうが
2枚目が1/2k(11/24)^2
3枚目が1/2k(17/24)^2
4枚目が1/2k(7/8)^2

でどちらも1/2k*851/576となります

お礼

ご回答ありがとうございます。

線密度・モーメント　など、
自慢じゃありませんが、意味は全くわかりません。＾＾
ただ、
＞【どちらも】1/2k*851/576となります
：
という断定的表現がすっきりしていますね、私の場合、あくまで感覚的にですが。＾＾；
わけがわからないながらも、

＞1枚目が1/2k{(1+1/24)^2-(1/24)^2}
：
という式の解は何なのか、多少、興味を惹かれます。

回答No.3

stomachman

トランプの幅を長さ２cmだとします。てっぺんから順にトランプに1,2,3,...と番号を振ります。全部のトランプをきっちりそろえて積んだ状態から始めて、トランプを上から順に1枚ずつ右にずらすことを考えます。ただし、あるトランプkを右にずらすときに、それよりも上にあるトランプは全部トランプkに乗ったまま、一緒に右にずれるものとします。

　最初に、トランプ1の重心はトランプ2の右端から見て左に1cmの距離にあり、この重心がトランプ２の右端に乗っていればトランプ1はぎりぎり落ちない。だから、トランプ１の右端はトランプ2の右端よりも右に最大1cmだけずらすことができます。そこで1cmだけずらすと、当たり前ですけど、トランプ1の右端はトランプ2の右端よりも1cmだけ右にずれています。
　このときトランプ1と2を合わせたものの重心は、トランプ2の右端から見て左に1/2 cmの距離にある。（なぜならトランプ2の右端を基準にして、トランプ2の重心は左に1cmの所にあり、トランプ1の重心は左に0cmのところにあるから(1cm×1枚+0cm×1枚)/2枚=1/2 cm。）この重心がトランプ3の右端に乗っていればトランプ1と2はぎりぎり落ちない。だから、トランプ2の右端はトランプ3よりも右に最大1/2 cmだけずらすことができます。そこで1/2 cmだけずらすと、当たり前ですけど、トランプ1の右端はトランプ3の右端よりも(1+1/2)cmだけ右にずれています。
　このときトランプ1,2,3を合わせたものの重心は、トランプ3の右端から見て左に1/3 cmの距離にある。（なぜなら、トランプ3の右端を基準にして、トランプ3の重心は左に1cmの所にあり、トランプ1と2を合わせたものの重心は左に0cmのところにあるから(1cm×1枚+0cm×2枚)/3枚=1/3 cm。）この重心がトランプ4の右端に乗っていればトランプ1,2,3はぎりぎり落ちない。だから、トランプ3の右端はトランプ4よりも右に最大1/3 cmだけずらすことができます。そこで1/3 cmだけずらすと、当たり前ですけど、トランプ1の右端はトランプ4の右端よりも(1+1/2+1/3) cmだけ右にずれています。

　以下同様で、トランプnを右にずらせる量は最大1/n cmである。（なぜなら、トランプnの右端を基準にして、トランプnの重心は左に1cmの所にあり、トランプ1,2,....,n-1を合わせたものの重心は左に0cmのところにあるから(1cm×1枚+0cm×(n-1)枚)/n枚=1/n cm。）そこで1/n cmだけずらすと、トランプ１の右端はトランプn+1の右端よりも(1+1/2+1/3+.....+1/n) cmだけ右にずれている。

　で、
1+1/2+1/3+.....+1/n
という級数は、実はnを大きくすると幾らでも大きくなる（+∞に発散する）。だから、トランプが十分に沢山あれば、てっぺんのトランプは一番底のトランプに対して幾らでも好きなだけ右にずらせる。これがこの話の面白いところですね。
　実際にやってみるには、トランプじゃ強度不足なので、積み木などを使うのが良いっす。

お礼

ご回答ありがとうございます。

おっしゃるとおり、級数の説明に使われている記述です。
それで、
＞そこで1/n cmだけずらすと、トランプ１の右端はトランプn+1の右端よりも(1+1/2+1/3+.....+1/n) cmだけ右にずれている。
：
というご説明に基づいて、私の疑問を端的に述べてみます。
n=4 の場合を考えると、
・トランプ１の右端はトランプ4+1の右端よりも(1+1/2+1/3+.....+1/4) cmだけ右にずれている。
→
・トランプ１の右端はトランプ 5 の右端よりも(1+1/2+1/3+1/4)＝2+(1/12) cm だけ右にずれている。
ということになります。
つまりトランプ１は(1/12) cm分、トランプ５よりも右にはみ出している。

そうすると、この【実際には存在していない】「トランプ１の(1/12) cm分」も含めて、重心より右側にはみ出しているトランプ全体の重さ総合計と考え、左右のバランスがとれているとしていることになりますよね。
つまり、左側のトランプ重量総合計は右側より(1/12) cm分多いはずです。
これでバランスが取れるのでしたっけ・・・。
そういえば、重さが違っても距離が離れるとバランスは取れますしね。
何か非常に初歩的な不勉強の成果が疑問につながっているのかという懸念も生じてきましたが、もう少しご説明していただけると助かります。

トランプ１、２、３の流れで、重心の左右に同量のトランプの重量が存在しなければバランスがとれない、と考えていた私の考えが初歩的な間違いであった、ということになりますか？

回答No.2

B-juggler

こんばんは。まぁ、数学屋さんでも、物理は全くできないことはないでしょうから。

σ(・・*)は電気工学出身だし。

えっと、全部右にずらすのでしょうか？

まずそこが問題だと思います。

カードの長さを２４としているのに、分母がなぜ４８　になるんでしょう？

カードの支点は、右端になると思うんだけど、

１枚目は　１／２　出せる。　右１２／２４　　左１２／２４ですね。
２枚目は　１／４　だと思う。　右　一番上は３／４　出ているので　１８
　２枚目は、６　足して　２４／２４
　　　　　　　　　　　　　　　左はこの逆計算で　２４／２４　になりますね。

　　＃一番上は、１／４　残り、二枚目は　３／４　残りなので。

三枚目は、　１／６　これはちょっと自信ないけど。

右）　一番上　さらに　１／６　でるので　（３／４）＋（１／６）＝１１／１２
　　重さを取ると（長さに比例するとして）←これ最初に書かないといけなかった＾＾；
　　（１１／１２）×２４　＝　２２　これが一枚目ね。

　　　２枚目　（１／４）＋（１／６）＝５／１２　　１０　　　になるかな。

　　　３枚目　（１／６）×２４　＝４　

全部足すと、　１１＋１０＋４＝２５　かな

左）　一番上は（１／１２）　二番目は　（７／１２）　三番目は　（５／６）＝（１０／１２）
それぞれ残りなので、
　２＋１４＋２０　＝　２６　かな。　

左が重たいから、３枚目で崩れることはないね。

左に少し残っているので、もう少し出せるんだろうけど。。。

で４枚目＾＾；　汗汗＾＾；
右）
１枚目：（１１／１２）＋（１／８）　＝　２５／２４　これだけなら確実に落ちるね

さてこれが何故落ちないか？　が疑問なんだよね。

２枚目を考えて見ます。

（５／１２）＋（１／８）　＝　１３／２４　これも落ちそうだけど＾＾；

上から二枚目が、１３／２４　も動いてますね。　これが一枚目を支えているのだから、

支点が変わっているんですよ！　ヾ（＠⌒ー⌒＠）ノ

つまり、　（１枚目の移動量）－（２枚目の移動量）＝１２／２４　Σ('◇'*)エェッ!?

上から二枚だけ見ると、最初の状態と同じなんですよ　Σ('◇'*)エェッ!?

これがトリックです。（じつは、トリックも何も、ここは動かしてないよね＾＾；）

２枚目が落ちそうなので、三枚目も検証しておきますね。

（１／６）＋（１／８）＝７／２４

同じように、（２枚目の移動量）－（三枚目の移動量）＝６／２４　なので　充分残る♪

こう考えると、もう少し出してもいいんじゃないか！　と思うかもしれないけど、

最初のほうにやっていた重心点のバランスを考えると、やはり崩れています。

トリックは分かってもらえたかなぁ？　と思います。

３枚目がもう少し出せそうな気もするけど、整数にならないからかな？

まぁ、こんな感じです。

問題が違ったらまた言ってください。わからないところあったら聞いてくださいね♪

(=^. .^=)　ｍ（＿　＿）ｍ　(=^. .^=)

お礼

ご回答ありがとうございます。

＞左が重たいから、３枚目で崩れることはないね。
：
３枚目をずらした段階では３６：３６で左右全く同じ重さになると思います。

＞３枚目がもう少し出せそうな気もするけど、整数にならないからかな？
：
３枚目を４枚目と置き換えて解釈してみます。
カードの長さを２４にしたのは私の独断です。

４枚目を８分の１ずらすとすれば、左に重心が残りすぎると思います。
３枚目までは丁度重心を計算しているのに、なぜ４枚目からは重心がずれるようなずらしかたをするのかがよくわかりません。

回答No.1

alice_44

カード毎に横に分けて考えるよりも、
各カードの端で区切って、縦に分けて考えたほうが
考えやすいと思います。

２枚目のカードの端よりハミ出しているのは、
１枚目のカードの 1/2。
３枚目のカードの端よりハミ出しているのは、
１枚目と２枚目のカードの 1/4 づつ。
４枚目のカードの端よりハミ出しているのは、
１枚目と２枚目と３枚目のカードの 1/6 づつ。
上四枚のカードを x ずらしたとすると、
そのぶんハミ出すのは、x が四枚分。
合計で 1/2 + 2(1/4) + 3(1/6) + 4x だけ
ハミ出ていることになります。

これが四枚のカードの半分以下であれば、
重心が山からハミ出さないので、
1/2 + 2(1/4) + 3(1/6) + 4x ≦ (1/2)4 より　←(*)
x ≦ 1/8 が条件になります。

(*)式の左辺各項が 1/2 であることに注目すると、
n 枚目をずらす量が nx ≦ 1/2 の x であることが
解るでしょう。

お礼

ご回答ありがとうございます。

＞これが四枚のカードの半分以下であれば、
重心が山からハミ出さないので、
1/2 + 2(1/4) + 3(1/6) + 4x ≦ (1/2)4 より　←(*)
x ≦ 1/8 が条件になります。
：
おっしゃることはわかります。
ただ、４回目にずらした際、一番上のカードは８分の１だけはみ出てしまいますよね。
つまり、4x ではなく、3x + [８分の１の空白]とならないでしょうか。
この点がよくわかりません。

一枚のカードの長さを御２４とした場合、x ＝ 1/8 ならば、左辺＝49 右辺=47 となりませんか。
x ＝ 1/8　の場合、正確な重心が得られていませんよね。（勘違いなのかもしれないですが・・・）
なぜ、左辺＝48 右辺=48 となるような重心点を求めていないのだろうか、という疑問なんです。