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極値の条件の証明
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fx=0, fy=0 だと、f(x,y) のテイラー展開の一次項が 0 になるから、 (a,b) 近傍での f(x,y)-f(a,b) の挙動は、主に二次項で決まる。 テイラー展開の二次項は、ヘッセ行列を係数とする二次形式だから、 ヘッセ行列の固有値が全て同じ符号になることは、 f(a,b) が極値になるための十分条件のひとつである。 行列式は、行列の固有値の積に等しいから、二変数関数に限って言えば、 ヘッセ行列の固有値が同符号であることと、ヘッセ行列式 -Δ の値が正 であることは、同値である。 以上より、fx=0, fy=0 のとき -Δ>0 であれば、f(a,b) は極値と言える。
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何教えればいいか分からないんだけど 二変数のテイラー展開 fが、点(a,b)の近傍で定義されている二階微分可能連続な関数ならば f((a+h,b+k)) = f((a,b))+fx((a,b))h+fy((a,b))k +{fxx((a+θh,b+θk))h^2+2fxy((a+θh,b+θk))hk+fyy((a+θh,b+θk))k^2}/2! とテイラー展開される。(0≦θ≦1、 h,kは十分小さい実数) を使えば解けます
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