二次関数・不等式の問題

質問

(問題)
xの実数係数の方程式ax^2＋2(a-4)x＋5a-8=0が、少なくとも一つの正の解をもつための
ａの範囲を求めよ。

(質問)
(1)「少なくとも」という言葉がでてきたとき、どのように考えればよいですか？

(2)x=0より左の範囲が範囲外とされるのはどうしてですか？

(3)f(0)＞0のとき、a＜0、8/5＜aとできるようですが、このa＜0はどこからでてきたのでしょうか？
f(0)＜0のとき0＜a＜8/5となるのもわかりません。

(問題)
(x－a^2)(x-2a+1)≦0　・・・(1)
x^2-1≧0　・・・(2)
について、次の問いに答えよ。ただし、aは定数とする。

(1)すべての数xが(1)または(2)を満たすように、aの値の範囲を定めよ。
(2)(1)(2)を同時に満たすxは存在しないように、a値の範囲を定めよ。
(3)(1)(2)を同時に満たすxの範囲がb≦x≦-1であるとき、bをaで表せ。
また、bのとりうる値の範囲を求めよ。

（質問）
(1)またまた言葉の捉え方なのですが、「(1)または(2)を満たす」とはどのように考えれば
よいのでしょうか？
「(1)(2)を同時に満たす」とはどのように違うのですか？
解説の数直線の図を見ると、
「(1)または(2)を満たす」とは「(1)(2)を合わせた部分」とあり、これは「(1)(2)を同時に満たす」と
何が違うのかわかりません。

(2)b=2a-1となるのはどうしてですか？

回答No.3

mirage70

問題１について、少なくとも一つの正の解をもつとは、２次方程式で実数解が有れば解は２個(重根を含む)ですので、このうち１個または２個が正の解となることを意味します。
ax^2＋2(a-4)x＋5a-8=0で、a=0の時は、１次式となりますので、xが正の解を持つか調べる必要があります。
次に、a>0とa<0の２つに分けて考える必要があります。
(2)x=0より左の範囲が範囲外とされるのはどうしてですか？ 此は、少なくとも一つの正の解をもつと云うことで、１個が正の解(この時には、重根でなければ、残る１個の解は０または負の解)、２個共に正の解の場合となります。
NO690904を参考(全て)にして考えてください。
(3)f(0)＞0のとき、a＜0、8/5＜aとできるようですが、このa＜0はどこからでてきたのでしょうか？
NO690904を参考にして
f(x)=ax^2＋2(a-4)x＋5a-8とおいて、
a<0のときには、f(x)>0が成り立つaの範囲を求めます。
この時、解無し。
a>0の時には、f(x)<0が成り立つ範囲を求めます。此を求めると、0＜a＜8/5であり、x^2の係数が正か、負かによってどちらに凸のグラフかが決まります。此を利用しています。また、２つの解が正であるときも見てください。

問題２について、
(1)すべての数xが(1)または(2)を満たすように、aの値の範囲を定めよ。
x^2-1≧0より、x>=1,x<=-1と言うことで、全てのxを満たしていません。即ち、-1<x<1において成り立たないので、此を成り立たせるために(x－a^2)(x-2a+1)≦0を使用します。即ち、、-1<x<1を含めた部分で成り立てばよいのです。

同時に満たすxは存在しないように、a値の範囲を定めよ。
此は、(x－a^2)(x-2a+1)≦0の解が、-1<x<1の時には、同時に満たすことは出来なくなります。

(2)b=2a-1となるのはどうしてですか？
此は、(x－a^2)(x-2a+1)=0とおくと、x=a^2とx=2a-1と出てきます、この時の大小関係を見ると、a^2-(2a-1)=(a-1)^2>=0となりますので、a^2>=2a-1(等号は、a=1)
x^2-1≧0より、x>=1,x<=-1と言うことで、xの範囲がb≦x≦-1であるときの-1はx<=-1です、そして、bは、
(x－a^2)(x-2a+1)≦0から、2a-1<=x<=a^2の小さい方の、
2a-1で有ります。b=2a-1となりますが、xの範囲がb≦x≦-1であるので、a^2<1となります。もし、a^2>=1となりますと、x^2-1≧0より、x>=1,x<=-1であり、同時に満たすxの範囲がx>=1でも存在することになります。