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数学のわからない問題おしえてください
数学でわからない問題があります 方程式 ax^3-x^2-x+1=0の実数解の個数が1個であるとき、定数aのとりうる値の範囲を求めよ という問題です よろしくお願いします
- suwaseyasan
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- Tacosan
- ベストアンサー率23% (3656/15482)
#2 とは逆に, まず間違いなく「三次方程式の判別式は、高校教程には入ってない」ことを前提に #1 を書いていたり (苦笑). いちおう素直に書くと f(x) = ax^3-x^2-x+1 とおいて f'(x) = 0 の 2解を α, β とすると ・α, β が非実数 ・f(α) f(β) > 0 のどちらかの条件を満たせばよく, 前者は簡単. 後者は努力と根性で a に関する不等式に落ちる. まあ前者の条件は後者に含まれるから本当は不要だし, やってることは結局判別式だったりするわけだが.
- B-juggler
- ベストアンサー率30% (488/1596)
No.2 ゴメン。 そうか、三次方程式の判別式って 高校ではやらないね・・・。 そもそもσ(・・*)余りやったこともないかも?? #一応代数なもので>< 高校の微積で、4パターンでいけないかな? a>0 で 極大極小ともに <0 パターンA a>0 で 極大極小ともに >0 パターンB 以下略、素直にいくとこれなのかな? 自身も何もなくなって来たよ>< (=^. .^=) m(_ _)m (=^. .^=)
- 178-tall
- ベストアンサー率43% (762/1732)
途中の脱落を補足。 (3c^2 + 2c - 5) > 0 ↓ 3(c-1)(c + 5/3) > 0
- 178-tall
- ベストアンサー率43% (762/1732)
ANo.4 の続き。 a = c(c^2 + c - 1) … (*) であるが、c > 1 あるいは c < -5/3 にて、a は単調増大 あるいは 単調減小。 結局、 c > 1 → a > 1 あるいは c < -5/3 → a < -5/27 となったが?
- Tacosan
- ベストアンサー率23% (3656/15482)
えぇと, 「これが任意のαに対して成立するから」はおかしい>#6. α, β, γ は方程式 ax^3-x^2-x+1=0 の解だから α は (β, γ もだけど) a に依存する. つまり α と m=1/a との間にも依存関係が存在し, 3α^2-2mα-m^2-4m>0 はそのような α に対して成り立てば十分なはず.
- mister_moonlight
- ベストアンサー率41% (502/1210)
今、見たら書き込みミスをしてる。途中は良いんだが。 相変わらず、進歩がないね。。。。。w 簡単のために、-1/a=mとすると → 1/a=m 後は -1/a=mを使って 元に戻すだけ。→ 後は 1/a=mを使って 元に戻すだけ。
- alice_44
- ベストアンサー率44% (2109/4759)
三次方程式の判別式は、高校教程には入ってないのでは? x=0 が解でないことを、代入して確認の上、 x=1/z で置換してしまえば、原式より扱い易い式になる …て、既に A No.5 に書かれてたか。
- mister_moonlight
- ベストアンサー率41% (502/1210)
うっかりしてたが、判別式で解決する高校数学。 a≠0は明らかだから αを実数解として、βとγを虚数解とする。 解と係数から α+β+γ=1/a。αβ+βγ+γα=-1/a。αβγ=-1/a。 簡単のために、-1/a=mとすると、α+β+γ=m。αβ+βγ+γα=-m。αβγ=-m。 β+γ=m-αから αβ+βγ+γα=-mと連立すると βγ=α^2-mα-m。 よって、βとγは 2次方程式:t^2-(m-α)t+(α^2-mα-m)=0の2つの虚数解。 従って 判別式<0. 整理すると、3α^2-2mα-m^2-4m>0.これが任意のαに対して成立するから α^2の係数>0より 判別式<0. つまり、-3<m<0。後は -1/a=mを使って 元に戻すだけ。
- Tacosan
- ベストアンサー率23% (3656/15482)
ひねって解くなら y=x^3-x^2-x のグラフを描いて y=-a との交点を考えても面白いかも.
- 178-tall
- ベストアンサー率43% (762/1732)
>方程式 ax^3-x^2-x+1=0の実数解の個数が1個であるとき、定数aのとりうる値の範囲を求めよ… 実数解を -r として、 ax^3-x^2-x+1 = (x+r)(ax^2 + bx + c) と因数分解。 両辺の係数を等置。 (x^2) -1 = a*r + b (x^2) -1 = b*r + c (x^2) 1 = c*r これらから r を消去した結果。 a = c^3 + c^2 - c … (*) b^2 = (c^2)(c+1)^2 … (**) (ax^2 + bx + c) が複素零点をもつ条件、 D = b^2 - 4ac < 0 へ (*) (**) を代入。 (3c^2 + 2c - 5) > 0 ↓ これから c の「とりうる値の範囲を求め」れば、(*) で「aのとりうる値の範囲」も判りそうだが、時間切れ。 (とりあえずは、「誤りがあれば正せ」か? …)
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