eの入った不定積分

質問

∫ｇ'（ｘ）ｆ'（ｇ（ｘ））dx=ｆ（ｇ（ｘ））という公式を使って、

∫e^2xdxを求めよ、という問題なのですが、どういうふうに計算すればいいのかわからないので、教えてください。

回答No.5

info22_ · ベストアンサー

#4です。

A#4の補足質問の回答

>わかったと思ったのですが、なぜ1/2が出てきて外へ出すのかわかりません。

被積分関数は
e^(2x)
これを公式にあてはめるには
g'(x)*f'(g(x))
の形を作らないといけないことはわかりますね。

ここで
g(x)=2x,f(x)=e^x,f(g(x))=f(2x)なので
>g'(x)=2 …(●)
>f'(x)=e^x
>ですから、xの代わりにg(x)=2xを代入すれば
>f'(g(x))=e^g(x)=e^(2x)…(■)
>これで下準備ができた。

>積分を公式にあてはめられる形に変形します。

つまり、被積分関数をg'(x)f'(g(x))の形にすると
g'(x)=2 (∵(●)より)
f'(g(x)=e^(2x) (∵(■))
とします。そうすると
被積分関数は
g'(x)f'(g(x))=2e^(2x)
とする必要があります。
ところが、実際の被積分関数はe^(2x)だけですから、公式の2e^(2x)を作るために
e^(2x)=(1/2)*2e^(2x)=(1/2)g'(x)f'(g(x))
と変形し(1/2)を前に出すのです。もともと1だったので「強制的に1=(1/2)*2としてg'(x)=2をつくりだしたために前に(1/2)をかけておくのです。

A#4にほら下の各式の後ろに説明してあるだろ。
>∫e^(2x)dx=(1/2)∫2*e^(2x) dx ←g'(x)=2を作るために(1/2)を積分の外に括り出す
>=(1/2)∫g'(x)f'(g(x))dx ←2は(●)のg'(x),e^(2x)は（■）のf'(g(x))に置き換える
>=(1/2)f(g(x))+C　←公式をあてはめる(不定積分なので任意定数Cを付けないと駄目ですね)

お礼

ご回答ありがとうございました。もっと簡単にできないものでしょうか。

回答No.7

info22_

#4,#5です。

A#5の補足について

>ご回答ありがとうございました。もっと簡単にできないものでしょうか。
簡潔に書けば分からない。詳しく説明を付けて書けばもっと簡単に出来ないでしょうか？
ときましたね。

これでは、堂々めぐりです。これを解決するには#6さんもおっしゃっているように、要するに質問者さんのこれまでの努力不足や甘えが基礎力の不足となって現状にいたっていると考えられます。合成関数の積分や微分、積分の基礎から教科書を復習された方が近道でしょう。
e^(2x)の積分や微分は、微積の基礎を身に付けた普通のレベルの高校生なら、暗算でやるレベルの範囲に属する内容です。このレベルで躓いていたら、数学の微積の単位を取れませんよ。がんばって教科書の微積を復習しなおしましょう！がんばれ！

お礼

ご助言ありがとうございました。

回答No.6

hiseos

置換積分とは一体何をしているのかを復習してみて下さい。上の公式はその応用なので、置換積分を正しく理解できていれば、すんなり理解できるでしょう。後、おそらく質問から察するに合成関数の概念の基本が抜けているようなので教科書で確認すると良いと思います。頑張って下さい。

お礼

ご助言ありがとうございました。合成関数ですか。数学向いてないのかもしれません。今日の試験もダメでした。

回答No.4

info22_

g(x)=2x、f(x)=e^x
とすれば

f(g(x))=e^(2x)　…(▲)
ですね。

ここで
g'(x)=2 …(●)
f'(x)=e^x
ですから、xの代わりにg(x)=2xを代入すれば
f'(g(x))=e^g(x)=e^(2x)…(■)
これで下準備ができた。

積分を公式にあてはめられる形に変形します。
∫e^(2x)dx=(1/2)∫2*e^(2x) dx ←g'(x)=2を作るために(1/2)を積分の外に括り出す
=(1/2)∫g'(x)f'(g(x))dx ←2は(●)のg'(x),e^(2x)は（■）のf'(g(x))に置き換える
=(1/2)f(g(x))+C　←公式をあてはめる(不定積分なので任意定数Cを付けないと駄目ですね)
=(1/2)e^(2x) + C ←（▲）のf(g(x))を代入した

これで積分できましたね。
お分かりになりました？

お礼

ご回答ありがとうございました。わかりました。

補足

わかったと思ったのですが、なぜ1/2が出てきて外へ出すのかわかりません。

回答No.3

noname#157574

e^(2x)′＝e^x・2=2e^x なので∫e^(2x)dx＝(e^(2x)/2)+C　Cは積分定数

お礼

すみません、最初の等号の右がもうわかりません。

回答No.2

hiseos

基本がわからない内は部分積分、置換積分をしっかり行いましょう。

今回なら、2x＝uで置換積分してみて下さい。答えは1/2e＾2ｘ。

上の公式にあてはめるなら、ｆ（ｇ（ｘ））＝e＾２ｘ、ｇ（ｘ）＝2ｘ、ｇ’（ｘ）＝2となります。

式ではｇ’（ｘ）＝1になっているので答えわ1/2します。また、公式も左辺はｆ’（ｇ（ｘ））より

ｆ（ｇ（ｘ））を一つの塊とみて積分すると覚えたほうがよいでしょう。

自分は原始関数に叩き込んで係数でわれと教わった記憶があります。つまり今ならｆ（ｇ（ｘ））の原始関数e＾2ｘに叩き込んで（積分しても変わらない）2ｘの係数2で割る、といった感じです。

これはなれの問題なので、始めのうちはやはり置換、部分積分を丁寧に行い、なぜこのような計算を楽に行える公式が使えるのかを理解すべきでしょう。

お礼

ご回答ありがとうございます。
すみませんが、全くわかりません。

補足

>>式ではｇ’（ｘ）＝1になっている
この部分からもうダメです。

回答No.1

noname#157574

e^2xdx　　e²x dx か e^(2x) dx かどっちかはっきりしません。

補足

すみません。e^(2x) dx です。