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線形微分方程式について

問題集に y'-ytan(x)=x^4sec(x) という問題があるのですが解き方がわかりません. リッカチの微分方程式で u=y^(-3)とおいて -3u'-utan(x)=1/cos(x) までいったんですがそこからできなくなってしまいました. 答えはy^3=1/(Ccos^(3)x)-2sinxcos^(2)x-sinx)なんですが・・・

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  • alice_44
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回答No.2

質問の方程式は一階線型微分方程式ですから、公式どおり、 y = (1/z) ∫{(x^4sec(x)) z}dx ただし z = exp(∫(-tan x)dx) とするだけです。計算すると、A No.1 と同じ答えになります。 リッカチの方程式だというのなら、恐らく、 y'-ytan(x)=(y^4)sec(x) の書き間違いなのでしょう。 これなら、型の如く u=y^(-3) と置けば、 (-1/3)u'-utan(x)=sec(x) と変形できます。 -3u'-utan(x)=sec(x) ではありません。 u'+3utan(x)=-3sec(x) に頭記公式を適用して、 u = (1/w) ∫{(-3sec(x)) w}dx ただし w = exp(∫(3tan x)dx) となります。

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その他の回答 (1)

  • spring135
  • ベストアンサー率44% (1487/3332)
回答No.1

y'-ytan(x)=x^4sec(x) 右辺はx^4・sec(x)=x^4/cos(x) ですか。もしそうなら両辺にcosxをかけて y'cosx-ysinx=x^4 z=ycosx とおくと z'=dz/dx=y'cosx-ysinx=x^4 z=x^5/5+c=ycosx y=x^5/5/cosx+c/cosx これは正解ではないようです。 ........

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