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複素数の2次方程式がわかりません
z^2-(5+i)z+8+i=0 この2次方程式を解けという問題です。 参考書にも載っていなかったので、解き方を教えてもらえませんでしょうか？
- swee-t-potato
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単純な問題。判別式自体は、解の虚実に関係なく成立する。 判別式＝(5+i)＾2-4(8+i)＝-8＋6*i＝(3*i＋a)＾2 とすると、展開して a＝1 とすぐわかる。 よって、2x＝(5+i)±(3*i＋1) だから、x＝3＋2*i、x＝2-i。
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- eco1900
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質問者が「高校生」かな？ 一応、そういうつもりで、お話しさせて頂きますね。 この方程式は、係数が虚数なので・・・ 恐らく学校や参考書などでよく出てくる問題の解法では少し無理がでてきますよ。 （＊学校や参考書などでよく出てくる問題は、実数係数の二次方程式ですから） つまり、（例えば・・・）次のような手法では無理が出てきます。 ・z=a+bi（a, bは実数）として、問題の方程式へ代入する。 ・代入した後、式を整頓して「〇＋△i＝0」とする。 ・〇も△も実数なので、「〇＝0、△＝0」として連立して解く。 それじゃ、どう処理すればいいのか？と言うと、基本の「解の公式」を利用します。 （＊こちらの解法でも、恐らく現在の高校数学では指導範囲外と思いますが・・） あなたの「理解したい」という気力があるようなので、頑張って読み進めてみてください。 ・・ここからは、画像を使って解説していきます。 ＊尚、画像は一枚（一回）では、文字表示が小さすぎるため、何回かに分けて送信しておきますね。一枚ごとの画像は、画面を「右クリック→拡大」で多少は読みやすくなるかと思いますが、解像度は劣ってしまいますよ（^^A 繰り返しになりますが・・・高校生の方へお話しするつもりなので、深く専門的なお話しは省いていきますよ。 画像は4枚にもなってしまいました・・・すいません。
- rnakamra
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(方法1) 2次方程式の解の公式に入れてみる。 z=[5+i±√{(5+i)^2-4(8+i)}]/2 根号を解くのが大変だが半角の定理などを駆使すれば解けなくはない。 (方法2) たすきがけで因数分解。 私はなぜかこちらで解けてしまった。 z^2-(5+i)z+8+i=z^2-{(3+2i)+(2-i)}z+(3+2i)(2-i) であることがわかれば因数分解できる。 (方法3) z=x+yi(x,yは実数) とおき、元の2次方程式に代入。実部と虚部にわけて連立方程式を立てる。 方法2がわかればよいのだが、気づかないと思うので方法1で進めるほうがよいと思う。
- himajin100000
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簡単な方法あるかもしれんが一応。 平方完成する (z - (5 + i) / 2)^2 - ((5 + i) / 2)^2 + 8 + i = 0 変形して (z - (5 + i) / 2)^2 - (2 - 3 * i /2) = 0 (z - (5 + i) / 2)^2 = (2 - 3 * i /2) ここで、実数x,yを用いて (x - y * i)^2 = (2 - 3 * i /2) とすると 2 * x * y =3 / 2 y = 3 / (4 * x) x^2 - y^2 = x^2 - (3 / (4 * x))^2 = 2 x^2 - (9 /16) / x^2 = 2 16 * x^4 - 32 * x^2 - 9 = 0 x^2 > 0を考えつつ、解の公式からxを求めると(略) x^2 = 1 / 4 x = 1/2 , y = 3/2 もしくは x = -1/2 , y = -3/2 とわかる。 それぞれの場合についてzを求めると z - (5 + i) / 2 = 1/2 + (3/2) * i z = 3 + 2i z - (5 + i) / 2 = -1/2 - (3/2) * i z = 2 - i よって 答え z = 3 + 2i, 2 - i で一致する、っと。因数分解がすぐに出来る方法があるかどうかは知らない。 http://www.wolframalpha.com/input/?i=z%5E2-%285%2Bi%29z%2B8%2Bi%3D0
- Knotopolog
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z^2－(5＋i)z＋8＋i＝0 に対し，a, b を実数として， z＝a＋ib とおき，z＝a＋ib を与式に入れると， f(a,b)＋ig(a,b)＝0 と言う式が得られます．次に，連立方程式 f(a,b)＝0 g(a,b)＝0 から，a, b を決めれば，z＝a＋ib より解が得られます．
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