座標系 三角関数 回転行列

質問

座標系　三角関数　回転行列

単位円において、θの正方向は反時計回りですがこれって右手系の座標系を採用しているからですか？

x,y,zの3軸を考えると以下になってしまって混乱しています。

1.（Z軸が奥向きの場合）
Y
↑
｜
｜
　－－→X
この座標系では、時計回りがθの正の方向ですよね？

2.（Z軸が手前向ききの場合）
　　　Y
　　　↑
　　　｜
　　　｜
X←－－
この座標系では、反時計回りがθの正の方向ですよね？

参考書などに書かれている単位円はθの正方向は反時計回りだと認識しているのですが、その場合、2の座標系なんでしょうか？

私は、1の座標系で反時計回りを正にしているように思いました・・・

回転行列を作ろうと思って考えた結果、自分でも混乱しています。。。

申し訳ないのですが、ご回答よろしくお願い致します。

回答No.8

info22_ · ベストアンサー

#2,#5,#6です。

A#6の補足の質問について回答

>つまり、右手系でX→Y→Z→Xと輪環の順に重ねる方向を正と定義すれば、XY平面、YZ平面、ZX平面で軸は全て原点手前方向になりますね。

その通り。

>こうすると、全て表面から見ていることになり反時計回りがθの正方向と一貫しています。
この認識で良いでしょうか？

その通り。その認識で結構です。

これで輪環の順に座標軸を重ねるように座標軸を回転させたとき、残りの座標軸が上（手前）の方を向いていれば反時計回りがθの正方向、輪環の順に座標軸を重ねるように座標軸を回転させたとき残りの座標軸の正方向が下（裏側）の方を向いていれば、θの正方向は時計回りになる（反対側の裏から見れば反時計回りになる）というわけです。

こうして一貫して覚えていれば、θの正方向を間違えることはなくなるでしょう！

お礼

ご回答本当にありがとうございます。
理解出来ました。

回答No.10

B-juggler

Ｎｏ．４．７．９(o｀・ω・)ゞデシ!!

ゴメンゴメン、肝心な「何を間違えていたか」を書いていませんでした　ｍ（＿　＿）ｍ

＞YZ平面をZY平面と見た場合は、反時計周りに
＞第一象限→第四象限→第三象限→第二象限
＞となりますよね？
＞透ける紙に書いて確かめました。
σ(・・*)のＮｏ．７に書いた内容が間違えています　ｍ（＿　＿）ｍ

すいませんでした　ｍ（＿　＿）ｍ

（伴ってというか、ついでで構わないけれど・・・。
Ｚ－Ｙ　平面　を見たときに、第三軸は「画面手前から奥」の向きですね。
この向きだと、時計回りに右ねじが進みますね）

Ｘ－Ｙ　、Ｙ－Ｚ　、　Ｚ－Ｘ　平面と取ったときの象限は、いつもどおりの見慣れた形です。

どうやっても、第三軸が奥から手前に来るからね♪

これはどうでもいいんだけど、どうやらＮｏ．７の間違いは、
「逆」になってるんだと思った＞＜
気にしないで～～。（Ｙ－Ｚ平面の象限を、Ｚ－Ｙ平面の象限で考えてなかった）
　＃この逆をやっていたみたいね＾＾；

疑問を持つことはすごく大事なことだから、
「本当に知りたい」と思ってあるあなたは、「いい質問者」さんだと思うよ
ヾ（＠⌒ー⌒＠）ノ
気になったらいろいろと聞いてみてください。

多分みんな、手を差し伸べると思うよ。
　＃登っておいで　こっちだよ～～　って方もたくさんいらっしゃるようですから♪

(=^. .^=)　ｍ（＿　＿）ｍ　(=^. .^=)

お礼

ご回答ありがとうございます。
ZY平面での象限は反時計回りに第一象限→第四象限→第三象限→第二象限と進みますが、時計回りでみると、第一象限→第二象限→第三象限→第四象限ですね。

全て理解できました。

ご回答本当にありがとうございました。

回答No.9

B-juggler

Ｎｏ．４　と　７　です。

えっとね、Ｎｏ．７の図を見てもらって。

象限は　ｉｎｆｏさんが書かれているのでそれでいいです。

これは結局、（横軸＋，縦軸＋）　を第１象限、（横軸－，縦軸＋）を第２　と

していることと変わりませんよ。

　＃定義は「向こうから手前に来ている第３軸の右ねじ進む向き」のはずかな？

それでと、　Ｚ－Ｙ平面というのはありえない（！）　こっちが先。

もしこれを作るのなら、＃７に書いている絵、Ｚ軸のプラスマイナスを逆にしてください。

そしたら、９０度回転させた、Ｙ－Ｚ平面になるから。

平面の作り方。これは決まりごと！　だと思わないと、

また変な疑問になりますよ。　ｘ－ｙ－ｚ－ｘ－ｙ－ｚ・・・・

必ずこの順番。　ＺＹ平面とか、ＹＸ平面なんていうのはない！　

そうして置いたほうが今はいいと思う。

で、＃７のＺ－Ｙ平面の象限は間違えていると思う。ゴメン。
申し訳ないです。
そもそもこれを考えちゃいけないね、すいません　ｍ（＿　＿）ｍ

(=^. .^=)　ｍ（＿　＿）ｍ　(=^. .^=)

補足

ご回答ありがとうございます。
もちろんYZ平面をZY平面と見てはダメで、輪環の順は大前提です。
ZY平面を考えるとそれぞれの象限も混乱します。
教訓の一つとして、象限がどうなるか知りたくて質問した次第です。

YZ平面をZY平面と見た場合は、反時計周りに
第一象限→第四象限→第三象限→第二象限
となりますよね？
透ける紙に書いて確かめました。

また、XY平面、YZ平面、ZX平面では
象限は全て同じになりますよね？

回答No.7

B-juggler

ども、Ｎｏ．４です　info_22さんフォロー感謝です　ｍ（＿　＿）ｍ

Ｎｏ．５についての補足は　σ(・・*)行きましょうか。

象限についてですね。

うん、簡単に考えますね。

Ｘ－Ｙ　平面での　第一象限というのは、Ｘ，Ｙともに正のときですね♪

おなじく　第二象限は、Ｘが負、Ｙが正・・・（以下略）ですね。

Ｙ－Ｚ　平面と見たときに　絵を描いてます＾＾；

察してあるとおり、変わりますよ♪

上の図のように、Ｚ－Ｙ　平面になってますね。　（だから、θの向きが逆になったといえます）

この平面でＺ－Ｙ平面で考えると　、　１，２，３，４象限は「？」いらない、そのままでいいです。

でも、Ｙ－Ｚ平面としてみると、

上の図、２？　は　Ｙは＋　Ｚは－　なので　３象限になるね

おなじく　３？　は　Ｙ，Ｚ　ともにマイナス　なので　４象限ね。

４？は　第２象限になりますね。　と、変わります。　下の図を参考にしてね♪

平面の書き方（？）　こういうところでは、対称性を持たせたほうがいいかもしれない？

Ｘ－Ｙ　平面は　Ｘ軸を反時計回りに９０度傾けて直交させた平面だね。
Ｙ－Ｚ　平面は　Ｙ軸を　同様ね。

なので、Ｚ－Ｙ　平面というのは通常使わないほうが良いのでは？　ということ。
　＃　ｘ軸に対して、一般性を損なっちゃうから。

(=^. .^=)　ｍ（＿　＿）ｍ　(=^. .^=)

お礼

象限に関して、YZ平面をZY平面と見た場合は、
反時計周りに第一象限→第四象限→第三象限→第二象限
となると思うのですが間違いですか？

透ける紙に書いてみると上記のようになります。

どうぞご回答よろしくお願い致します。

補足

ご回答ありがとうございます。
お礼が遅くなり申し訳ないです。
XY平面、YZ平面、ZX平面で軸は全て原点手前方向になります。ZY平面はX軸が原点奥方向です。これが混乱の原因でした。
因みに、象限はどの様にして定義されるのでしょうか？
参考書などではXY平面で反時計回りに第一象限・・・と定義されますが、他のYZ平面、ZX平面も同じなのでしょうか？どのようにして決められるのか教えて頂けるとありがたいです。

回答No.6

info22_

#2,#5です。

A#5の補足の質問について
> XY平面とYZ平面では、θの正方向が逆で
良いのですね。
こういう覚え方は混乱のもとです。
右手系でX→Y→Z→Xの輪環の順に座標軸を重ねるように、それらの軸に垂直に立てた右ねじの回りに90度回転する回転方向がθの正の方向です。それが時計回りか反時計回りかは、座標面を表側から見るか、裏面から見るかで変わります。なので座標軸を輪環の順に重ね合わせる回転方向をθの正方向と覚えた方が一貫した間違いのない覚え方です。

>私の勝手な認識で、θの正方向は全て同じ
>と思っていました。ここが、間違いの
>原因でした。
上の一環した覚え方をしていないことが、座標軸の方向によって混乱するのです。

>因みになのですが、XY平面とYZ平面の
>単位円において、それぞれ第1象限（右上）、
>第2象限（左上）、第3象限（左下）、
>第4象限（右下）の位置は同じなのでしょうか？
>YZ平面はθの正方向が逆なので同じでは
>ないのではと考えました。
こういう考え方は混乱の基です。忘れて下さい。

統一的には次のように覚えてください。
ある軸上（たとえばZ軸）に右ねじを立て、他の2軸(つまりX軸とY軸）の正方向を輪環の順 に90度回転して座標軸を重ねる（X軸を90度回転してY軸に重ねる）回転方向がθの正方向です。このθの正の回転方向は、Z軸の正方向（XY座標面の表側）から見れは反時計回り、Z軸の負方向（XY座標面の裏側）からみれば時計回りになります。
単位円を考えるなら,XY座標平面の表側から見るか、裏側から見るかで、θの正方向が逆になるので、混乱しないために単位円は座標軸の正方向（たとえばZ軸性方向にとる場合）から見て（XY座標面の表側）に作るとすれば、いつもθの正方向は反時計回り（X軸をY軸に重ねる回転方向、つまり軸は輪環の順の前の軸の後ろの軸に重ねるように回転する方向）となります。
混乱しない覚え方をしてください。

補足

ご回答ありがとうございます。
お礼が遅くなり申し訳ないです。
つまり、右手系でX→Y→Z→Xと輪環の順に重ねる方向を正と定義すれば、XY平面、YZ平面、ZX平面で軸は全て原点手前方向になりますね。
こうすると、全て表面から見ていることになり反時計回りがθの正方向と一貫しています。
この認識で良いでしょうか？

回答No.5

info22_

#2です。

A#3の補足での質問

>X-Y平面は仰る通りです。
以下１．２．のようにすれば合ってます。

>1.（Z軸が手前向きの場合）
Y
↑
｜
｜
　－－→X
この座標系では、反時計回りがθの正の方向。

>2.（Z軸が奥向きの場合）
　　 Y
　　 ↑
　　 ｜
　　 ｜
X←－－
この座標系では、時計回りがθの正の方向。

>すいません。
>混乱の原因はY-Z平面です。
右手系なら原点のX軸方向に右ねじを立てて、Y軸をZ軸に重なるようにX軸のまわりに回転したとき右ねじが進む方向がX軸の正の方向で、このときの回転方向がX軸のまわりの回転角θの正方向です。

>1´.（X軸が奥向きの場合）
Y
↑
｜
｜
　－－→Z
> この座標系では、時計回りがθの正の方向ですか？
合っています。座標軸のとり方も右手系となっています。
X軸のまわりの回転角θについて時計回りがθの正方向です。

>2´.（X軸が手前向きの場合）
　　　Y
　　 ↑
　　 ｜
　　 ｜
X←－－
↑のXはZの間違いです。訂正すれば、座標軸のとり方は右手系になります。

> この座標系では、反時計回りがθの正の方向ですか？
そうです。Y軸の正方向をZ軸の正方向に重ねるようにX軸のまわりに90°回転する回転方向がX軸のまわりの回転角θの正の回転方向で、図の反時計回りになります（Z軸は訂正することが条件）。

>X-Y平面とY-Z平面でθの正方向が逆になってしまいます。。。
>X軸を回転軸とする回転行列を考えるときに分からなく
なりました

まとめると右手系では
X軸の周りの回転角θxの正方向は,Y軸正方向をZ軸正方向にX軸のまわりに90°回転して重ねる回転方向と同じ回転方向です。
Y軸の周りの回転角θyの正方向は,Z軸正方向をX軸正方向にY軸のまわりに90°回転して重ねる回転方向と同じ回転方向です。
Z軸の周りの回転角θzの正方向は,X軸正方向をY軸正方向にZ軸のまわりに90°回転して重ねる回転方向と同じ回転方向です。

補足

さっそくのご回答ありがとうございます。
理解できました。

XY平面とYZ平面では、θの正方向が逆で
良いのですね。

私の勝手な認識で、θの正方向は全て同じ
と思っていました。ここが、間違いの
原因でした。

因みになのですが、XY平面とYZ平面の
単位円において、それぞれ第1象限（右上）、
第2象限（左上）、第3象限（左下）、
第4象限（右下）の位置は同じなのでしょうか？
YZ平面はθの正方向が逆なので同じでは
ないのではと考えました。

ご回答よろしくお願い致します。

回答No.4

B-juggler

こんばんは。

えっと、確か前にもお目にかかっていると思います。

何かどうしても難しく考えられてしまう方だと思うけど、違ったかな？

　＃恒等式のところなど。

この図形もそう。座標軸だね。

難しく考えない！

Ｘ－Ｙ　平面はそんな風に定義した　と思って置いてください。

　厳密に言うと、ｉｎｆｏ＿２２　さんのが正しいのです。

で、質問分のなかにあるのは、両方逆向きです。

それは、「左ねじの進む」向きになっています。

一般に、座標軸は、「右ねじの方向進む向き」と決まっています。

　＃実は、電気工学の左手の法則（フレミング）も、右ねじの方向進む向きなんです。
　＃その方が自然科学として使い安いわけです。

ちゃんと説明しておくと、「右ねじの方向進む向き」とは、

ちょっと絵を見てね。　こういうことです。

水道の蛇口で水が出るほうにまわす　のが　左ねじ（反時計）
水が止まるのが右ねじ（時計回り）。　

右手系とか、そういうのは聞いたことないし、変に考え込んじゃダメだよ～。

こういうのは、決まりごとだからね。

ｍ（＿　＿）ｍ

補足

ご回答ありがとうございます。
すいません。
X-Y平面は仰る通りです。

1.（Z軸が手前向きの場合）
Y
↑
｜
｜
　－－→X
この座標系では、反時計回りがθの正の方向。

2.（Z軸が奥向きの場合）
　　  Y
　　 ↑
　　 ｜
　　 ｜
X←－－
この座標系では、時計回りがθの正の方向。

すいません。
混乱の原因はY-Z平面です。

1´.（X軸が奥向きの場合）
Y
↑
｜
｜
　－－→Z
この座標系では、時計回りがθの正の方向ですか？

2´.（X軸が手前向きの場合）
　　　Y
　　 ↑
　　 ｜
　　  ｜
X←－－
この座標系では、反時計回りがθの正の方向ですか？

X-Y平面とY-Z平面でθの正方向が逆になってしまいます。。。
X軸を回転軸とする回転行列を考えるときに分からなく
なりました。

申し訳ないですが、ご回答よろしくお願い致します。

回答No.3

中村 拓男（@tknakamuri）

???
1 は右手系なら z軸は手前向きのはずですけど。

で、z軸正方向を右ねじ方向とみればよいと思います。

お礼

ご回答ありがとうございます。
仰る通りです。

回答No.2

info22_

>単位円において、θの正方向は反時計回りですがこれって右手系の座標系を採用しているからですか？

2次元では右手系とは関係なくて、x軸(の正方向)をy軸(の正方向)に重ねるようにx軸を90°回転する回転方向がθの正方向（反時計回り）になります。

xy平面の原点に垂直に右ねじを置き、x軸(の正方向)をy軸（の正方向）に重ねるように回転するとき右ねじが進む方向がz軸の正方向となります。これが右手系です。
なので
１．および２．の座標軸のとり方はいずれも左手系です。

x軸とy軸を入れかえれば、右手系になります。
x軸とy軸を入れかえないでz軸の向きを逆にしても、右手系になります。
いずれにしても左手系では混乱するので、座標軸のとり方を右手系に変更してから、θの正方向を考えた方が良いでしょう（x軸をy軸に重なるように回転する方向がθの正方向）。

補足

ご回答ありがとうございます。
yz平面も同じでしょうか？

回答No.1

naniwacchi

こんばんわ。

定義次第な気もしなくはないですが、
「z軸が奥向き」「手前向き」というよりも、
z軸の「正の方向から見るか」「負の方向から見るか」とした方がいいと思います。

通常の「xy平面」は、「z軸の正の方向から見た」ものになっていますよね。

結局、同じ座標系を z軸の正の方向から見るのか、負の方向から見るのかの違いだけで
・x軸の正の向きを θ＝ 0として、
・y軸の正の向きに向かう回転をθの正の方向としていること。

には変わりないと思います。

回転行列については、もしかすると以下の質問が参考になるかもしれません。
http://okwave.jp/qa/q6776863.html

回答になっているか、自信ありませんが参考になれば幸いです。

参考URL：

http://okwave.jp/qa/q6776863.html

お礼

ご回答ありがとうございます。
参考にさせて頂きます。