写像と像に関するある関係の証明

質問

現在解いている問題の中で、

∀f : T→T ｛　f [A] ⊆ B ⇒ f [C] ⊆ D　｝ ⇒　B ⊆　D かつ C ⊆　A

※集合T　A,B,C,D⊆T　かつ　A～D≠φ

という関係を証明しなければならない場面がありました。（見づらい式ですみません）

A,B,C,Dの可能性が広くて、うまくこの関係をイメージすることができず、証明することができません。
どなたかご教授願えないでしょうか？

回答No.5

noname#149523 · ベストアンサー

No.4の補足について。
それでよい。
ただその場合、背理法というよりは与式の対偶の証明と考えたほうがわかりやすいかもしれない。

お礼

うまい f を見つけることで、式を証明することができました。

どうもありがとうございました!!

回答No.4

noname#149523

与式の否定として(1)を仮定する
∀f｛　f [A] ⊆ B ⇒ f [C] ⊆ D　｝ かつ　((B ⊆　D)でない または (C ⊆　A)でない)　(1)

∀f｛　f [A] ⊆ B ⇒ f [C] ⊆ D　｝　(2)
(B ⊆　D)でない　(3)
(C ⊆　A)でない　(4)

(2)かつ(3)が矛盾する
(2)かつ(4)が矛盾する
を示すと背理法により与式が証明される

補足

ご回答ありがとうございます。

例えば、(2)かつ(3)が矛盾することを証明するには、

(B ⊆　D)でない　(3)
のときに、
∃f {　f [A] ⊆ B かつ ( f [C] ⊆ D でない)　}

を証明すれば良い、と考えたのですが妥当でしょうか？

回答No.3

tmpname

といいますか、D=Tならf[C]⊆Dは A, Cの如何に拘らず成立しますから、C ⊆ Aは必ずしも成立しないと思いますが。

補足

申し訳ないです。何気なく書いた"A,B,C,D⊆T"という条件ですが、問題をよく読むと、ABCDはTの真部分集合、つまりABCD⊂Tという条件の誤りでした。

しかしA,B,C,D⊆Tだと上式が成り立たないということは、一つの大きなヒントになりそうです。ご指摘ありがとうございます。

回答No.2

Tacosan

すくなくとも, その「【対偶】」はおかしい. 否定の取り方が根本から間違ってる. たとえば
B ⊆ D
の否定はあくまで
「B ⊆ D でない」 (あるいは D に含まれない B の要素がある)
であって
D⊂B
じゃないよ. あと,
∀f : T→T ｛　f [A] ⊆ B ⇒ f [C] ⊆ D　｝
の否定も
∃f ｛f [A] ⊆ B ⇒ D⊂f [C] ｝
じゃない.

お礼

＞B ⊆ D
の否定はあくまで
「B ⊆ D でない」 (あるいは D に含まれない B の要素がある)
であって
D⊂B
じゃない

そう言われれば・・・根本的に理解の仕方がおかしかったようです。
ご指摘ありがとうございます。

回答No.1

Tacosan

個人的には背理法に走るかな.

補足

Tacosanさん、いつもご回答ありがとうございます。

背理法というと、
∀f : T→T ｛　f [A] ⊆ B ⇒ f [C] ⊆ D　｝が成り立つときに、
D⊂B または A⊂Cが成り立つことを認めて、矛盾を導く、ということですね。

証明のテクニックとしては背理法であったり、対偶をとってみたりなどいろいろ試しているのですが…

【対偶】

D⊂B または A⊂C　⇒ ∃f ｛f [A] ⊆ B ⇒ D⊂f [C] ｝

いかんせん、f [A] ⊆ B ⇒ f [C] ⊆ Dの「⇒」が曲者で、上手くイメージが出来ずにいます。なにか良い見方はないでしょうか？