確率 無記名投票と記名投票の違いについて

質問

「３人の候補者に対して、３ｎ人の選挙人が一人１票ずつ持っている。
次の各場合について、３候補の得票がすべてｎ票ずつになる確率を求めよ。
（１）無記名投票の場合（２）記名投票の場合」
という問題を解きました。

自分では（１）、（２）ともにｐ＝（３ｎ）！/３＾３ｎ・（ｎ！）＾３（分母は３の３ｎ乗とｎの階乗の３乗との積です）としたのですが、（２）は解答と同じなのですが（１）が異なっています。

（１）の解説には区別のない３ｎ個の球を区別のある３つの箱へ入れる仕方が
（３ｎ+２）（３ｎ+１）/２なので、求める確率はその逆数の２/（３ｎ+２）（３ｎ+１）となっています。
これは単に求める事象の数（ここでは１）を全事象の数で割っているだけで、確率を表せているとは思えませんが、有名な本の問題なのに訂正が入っていないので自分の考えが間違っている気もします。

長文になってしまいましたが、確率論に明るい方、是非返答お願いします

回答No.2

momordica · ベストアンサー

質問者さんの答の方が正しいです。

無記名投票の場合、区別できる事象の数が{（３ｎ+２）（３ｎ+１）/２}通りであるということとは、
その{（３ｎ+２）（３ｎ+１）/２}通りの事象がすべて等確率で起こると考えていいということを
意味するわけではありません。
無記名だろうが記名だろうが、各候補者の得票数の確率分布は変わりません。

というか、出鱈目のひどすぎる解答ですね。
この「模範解答」の考え方が正しいなら、例えば、１０枚のコインを投げた時、全部表になる確率は、
１０枚のコインが区別できるなら 1/1024ですが、区別できないなら1/11になるということに
なってしまいます。
そんなバカな話はありません。

本当に「有名な本」なのですか?
書いてあることを一切信用しない方がいいのではないかという気がしてしまいますが。

本当は、今回のような問題の場合、そもそも前提条件が不足しているので、厳密なことを
言えば、確率は計算できません。
サイコロやコインの問題と違って、選挙などでは、それぞれの選挙人が３人の候補者に
投票する確率を無条件で1/3ずつであるとして良いわけではありません。
というか、一般的には偏りがあるのが普通です。
出題者はそれを踏まえて、前提条件として、各投票者が３人の候補者に同じ確率でかつ
独立に投票するということを確認しておく必要があります。
まあ、この出題者じゃそんなこと言っても無理ですねぇ。

お礼

回答ありがとうございます。
記名式か無記名式で確率が変わるとか受け入れ難いと思っていたのでスッキリしました。
ちなみに、特別な記載はありませんでしたが各候補には完全ランダム（確率１/3）で独立に投票すると仮定して解きました。
さもないと解けないので

回答No.5

mir0

確率論にあまり明るくなくて申し訳ないのですが。

おっしゃる通りだと思います。
例えば９人の選挙人が1票ずついれるとき、
(9,0,0)となる場合と(3,3,3)となる場合は同様に確からしくはなく、(9,0,0)と(0,9,0)と(0,0,9)を合わせたものと(3,3,3)が同様に確からしいと思います。
(１)と(2)に確率的に違いはなく、両者ともｐ＝（３ｎ）！/３＾３ｎ・（ｎ！）＾３だと私も考えています。

ちなみに、その本って「明解演習／数理統計」だったりしませんか、偶然にも私も今日、その問題をみて疑問に思っていました。
もしそうだとしたら、P１４のゼミナール9.1と9.2の違いも同じようにおかしくないかなと思っています。

お礼

回答ありがとうございます。
まさに明解演習です！アクチュアリーを目指すのに推奨されてる方が多い本でしたので購入したばかりなのですが、こうも根本的な誤りを載せられると読み進めることに不安があります。
ｐ．１４のゼミナールの問題拝見しましたが、これもおかしいですね。

回答No.4

alice_44

記名投票だろうが、無記名投票だろうが、
要は、ひとりが一票入れるだけなので、
(1)(2)の確率が異なるハズはありません。
貴方が正しい。

記名か無記名かで何かが変わるとしたら、
記名することの影響で、投票内容が変わるとか？
私も、FaceBook と 2ch では、
言うことがだいぶ違いますからね。
でも、この質問は、
そういう問題ではなさそうだと思います。

本の(1)の計算は、基本事象は何か
(何と何が等確率か)を見誤っているから、
答えが違うんですよ。

(2)を確率事象と見てよいのか？という
問題もありますが、そこは、確率問題の常で
オオラカに「各人がランダムに投票する場合の確率」
と受け止めておきましょう。
そうすれば、質問文中の答えになります。

お礼

回答ありがとうございます。
自分としましても名前書いた途端に確率が変わるとかどう考えてもおかしいとは思っていたのですが、こんな根本的な間違いを著者がするとは考え難く質問させていただきましたが複数の方の意見のおかげで自信が持てました

回答No.3

B-juggler

＃１です。

あれ？　なんかおかしいぞ？

発生確率が均一でないのなら、（２）も成立しないよ？

重複組み合わせで出したのは、「全事象」ですよ？　これが全事象でないのなら

（３ｎ）＾３　にする？　これだと記名式になるんじゃない？

　確率分布が一緒になるのかなぁ？　おのおの独立しているのなら一緒だろうけど
　区別するのか、しないのかでは、計算方法に差が出る気がするんだけど。

サイコロの例えだと、　２～１１　は全事象のほうじゃないね？

全事象は、二個のサイコロの目の出方　６＾２＝３６だよね。

ん？これだと、色つきサイコロだとしても同じだし、区別なしでも全事象は同じか。

なんだか分からなくなってきました。

組み合わせ屋（代数学・非常勤）は引っ込みます。

(=^. .^=)　ｍ（＿　＿）ｍ　(=^. .^=)

Ｐｓ．　もし、記名無記名で確率分布が変わらないのなら、全事象は何を基準に考えればいいのだろう？
　　　正規分布でもないだろうし？

補足

先ほど申し上げた発生確率とは、あくまでそれぞれの組み合わせが起こる確率のことです。
要するに、３人の候補者がｎ票ずつになるのと、一人が０票で残り二人が3n/2票になるのが同じ確率とは言えないのではないかという意味です。

加えて、全事象とすべての組み合わせの種類は別物で、全事象を考えるなら各々の事象を区別して考える必要があります。
確率を全事象ではなく、組み合わせから考えることができるのはその組み合わせが全て同じ確率で発生しているときで、今回、その発生確率が同じと言えるとは思えなくて質問いたしました。

回答No.1

B-juggler

代数学屋さんなので、確率に詳しいわけではないけれど

この場合は組み合わせでいけるので。

なので、（２）のほうが難しく思えるかな？？

（１）はね、それであっているというか、こういう風に考えてもらったほうがいいかな？

まず、全事象　は　重複組み合わせを使って　

　3ｎ+3-1Ｃ3-1　＝　3ｎ+2Ｃ2　＝　（３ｎ＋２）（３ｎ＋１）／２

です～～。

で、分子になる　「３人の候補者が　同一票（ｎ票）で並ぶ」事象は、一通りしかないね。

　＃無記名だから、（○○・・・）／（○○・・・）／（○○・・・）　（）内はｎ個
　＃このパターンしかないよね♪

なので、　（１通り）／（全事象）になるわけです。

重複組み合わせ　が　疑問あれば、「重複組み合わせ」で検索したらでてくるよ～～。

この場合は、３ｎ票を３人で分けるので、

区別をつける棒が　３人－１　＝　２本　必要。

これを、３ｎ　と足して、全体で　どこに区別する棒が来るか？　で求めます。

(=^. .^=)　ｍ（＿　＿）ｍ　(=^. .^=)

お礼

回答ありがとうございます。
ただ、その考え方で組み合わせの数が表現できるのは理解できるのですが、
１/組み合わせ＝確率というのがしっくりきません。
すべての組み合わせにおいて、発生確率が均一とみなしていいのか疑問です。

例で言うとサイコロ二個投げた合計数の組み合わせは２～１２の１１通り。
だから合計が２になるのも７になるのも等しく1/11だ！
って言ってしまっているように思えてしまいます・・・