確率が分かりません。

質問

勉強のためVB．NETでビンゴゲームを作成しています。
がいったいどのくらいの確率なのかなときになりました。ので分かる方教えてくれませんか？
なお、これはPGの質問ではなく確率の質問と判断しましたのでこのカテゴリにしました。

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５マス×５マス（２５マス）のビンゴカードがあります。

F（フリー）はランダムに３個まででます。（中央がFになるとは限りません）
２回目のボールでビンゴになる確率（ボール数は７５個です）はどのくらいなんでしょうか？

※Fが１列に並ぶ可能性もあるとします。

例１
１、２、F、F、F

例２
２、F、３、F、F

Fが３個出る確率は２５％（０個、１個、２個、３個）
※さらに細かいですが、Fの場所は乱数で決めていますので、ぶつかる可能性もあります（Fが２個の場合４％の確率で１つになってしまう）

もし並んで必要な番号が出る確率は、１/７５*１/７４
でいいのですよね？

さらに１列（ななめもビンゴとします）に並ばないといけませんよね？

すごくアホみたいな質問とは認知しています。でも知りたいので、お願いします。

できれば　計算式と意味を簡単に説明して下さるとうれしいです。

回答No.9

fushigichan · ベストアンサー

＃５です。
yoppiiさん

fushigichan さんの考え方でいくなら，

> F1,F2が重なるのは1/25
> F2,F3が重なるのは1/25
> F3,F1が重なるのは1/25

これらを単純に足すと，3つとも重なる確率が（1回ではなく）2回余分に足しこまれるので，
重ならない確率は，
　1 - (1/25) - (1/25) - (1/25) + (1/25)*(1/25) + (1/25)*(1/25) = 552/625
としなければならないと思います。

のところ、ご指摘のとおり１回少なく足していましたね！
ご訂正ありがとうございました。

hinebotさんもご検証いただき、ありがとうございます。

kenta_tanakaさん、＃５の回答の

＞ゆえに、フリーが３つ出ると決まった場合に
重ならずに印字される確率は
1-(1/25)-(1/25)-(1/25)+(1/25)*(1/25)=551/625

のところ
1-(1/25)-(1/25)-(1/25)+(1/25)*(1/25)+(1/25)*(1/25)=552/625
と訂正させてください。

それによって、下の確率を求める式も

(1/4)*(552/625)*(12/230)*(2/75)*(1/74)=552/132968750
=0.0004151

のように訂正させてくださいね。
一応たどり着けたみたいですね・・よかったです。

お礼

皆様　ご回答ありがとうございました。
やはり確率はすごく低いようですね。
何度も回等等投稿していただきありがとうございます。
すいません。お礼が数行でして・・・・。では、

回答No.8

hinebot

再び、#2です。
>4の検証での計算結果は、どこか見落としがあるのだと思います。多分、下手に重複を無視したことが原因でしょう。

#5さんの回答を見直して、見落としが分かりました。
>フリーが２個の場合４％の確率で１個になってしまう
を無視してしまっているんですね。
つまり、
>なので、配置方法は全部で 2625通り
と単純に足し算しちゃいけないということ。

Fが３つ一列に並ぶ確率は
>12C1*5C3/25C3=12*10/2300=12/230 = 6/115
これに、Fが３つとも重ならない確率 552/625 をかけて
(6/115)*(552/625) = 3312/71875 ですね。
#5さんは、もろ#4で私が検証しようとした方法で計算してくれていた訳です。

なお、この値をみると
#1さんの答えは
(1/4)*(720/15625)*{(2/75)*(1/74)}

#5さんの答えは
(1/4)*(3312/71875)*{(2/75)*(1/74)}

で、一見違うように見えますがちゃんと約分すれば
720/15625 = 144/3125(= 0.04608)
3312/71875 = 144/3125(=0.04608)
で同じ値になることが分かります。

これで、私も一致しました。

回答No.7

hinebot

#2です。

#5さんへ
#6さんの指摘、
>重ならない確率は，
>　1 - (1/25) - (1/25) - (1/25) + (1/25)*(1/25) + (1/25)*(1/25) = 552/625
>としなければならないと思います。
は私も同感です。

#1(#6)さんと#5さんの計算結果が一致するということで、恐らくそれが正解でしょう。

従って、#4の検証での計算結果は、どこか見落としがあるのだと思います。多分、下手に重複を無視したことが原因でしょう。
できれば、何を見落としたのか納得のいく答えがでるまで、締め切らないでいただけるとありがたいのですが…。

回答No.6

noname#5537

hinebot さん

> >F 3個の置き方の総数は，
> >25*25*25 = 15625 通り
> としているから、区別する必要があるということでしょうかね。ちょっと検証。

そうです。そこなんです。

fushigichan さん

フリーが3つのとき，重ならない確率は，
　(25/25)*(24/25)*(23/25) = 552/625
だと思います。

fushigichan さんの考え方でいくなら，

> F1,F2が重なるのは1/25
> F2,F3が重なるのは1/25
> F3,F1が重なるのは1/25

これらを単純に足すと，3つとも重なる確率が（1回ではなく）2回余分に足しこまれるので，
重ならない確率は，
　1 - (1/25) - (1/25) - (1/25) + (1/25)*(1/25) + (1/25)*(1/25) = 552/625
としなければならないと思います。

これで計算すると，fushigichan さんの計算結果と私の計算結果は一致します。
# 正しいかどうかは…？

回答No.5

fushigichan

kenta_tanakaさん、こんにちは。
とても面白そうで、難しそうな問題ですね。

＞F（フリー）はランダムに３個まででます。（中央がFになるとは限りません）

フリーというのは、ボールじゃなく、最初からカードに刷ってある
フリースペースのことですよね？
（そこは、ボールが出たものとして扱える）

まず、フリーが３個出る確率は、(1/4)です。

ところが、フリーが３個出た場合でも、重なるときもあるんですよね？
フリーが２個の場合４％の確率で１個になってしまう、というのは
フリーを２個分だすぞ、と機械が思ってても、重なる場所にフリーが印刷されてしまう可能性が４％ということですよね。
４％＝1/25の確率で２つが１個になってしまう。これをどう考えたらいいのかが難しいのですが・・

フリーをF1,F2,F3とするとき、
F1,F2が重なるのは1/25
F2,F3が重なるのは1/25
F3,F1が重なるのは1/25
F1,F2,F3が重なるのは上で重複して数えてあるが(1/25)*(1/25)

ゆえに、フリーが３つ出ると決まった場合に
重ならずに印字される確率は
1-(1/25)-(1/25)-(1/25)+(1/25)*(1/25)=551/625

これで、フリーが３つ出ると決まった上に、３つの異なる場所にフリーが位置する確率は

(1/4)*(551/625)となる。

このフリーが異なる場所に３個出た、という事象が起こっている場合に、
５×５＝２５のスペースのうち、３つがフリーである場所のとり方は、

25C3とおり。

また、そのうち、たて５行、横５行、ナナメ２行の合計１２行のうちから
１つの行にビンゴが並ぶので、12C1とおり。

並ぶ行を決めたら、あとは、その５つの並びのうち
どれがフリースペースなのかで5C3とおり。

12C1*5C3/25C3=12*10/2300=12/230

さらに、このときに、残りの２つのスペースには
残りの７５個の玉から、２個選んで、その数字が入らないといけないので

(2/75)*(1/74)をかけます。

{12C1*5C3/25C3}*(2/75)*(1/74)=(12/230)*(2/75)*(1/74)

これと、そもそもフリーが異なる場所に３個でる確率をかけたのが求める答えで

(1/4)*(551/625)*(12/230)*(2/75)*(1/74)=551/132968750

となってしまいましたが・・・
これで合っているでしょうか。あほみたいではなく、非常に難し過ぎる問題でした。

回答No.4

hinebot

#2です。

>でも良く考えてみると，
>F1 F2 F3 □ □ と
>F2 F1 F3 □ □ とを区別しないとおかしいことに気づいたのです。

はたしてそうでしょうか？
フリーはフリーなので、わざわざF1,F2,F3と区別する必要があるのか？

と思ったのですが、最初に
>F 3個の置き方の総数は，
>25*25*25 = 15625 通り
としているから、区別する必要があるということでしょうかね。ちょっと検証。

F 3個が一列に並ぶ確率は、5P3が正しいとすれば
720/15625 = 144/3125　

一方、5C3の考え方で最初から考え直すと、
F 3個が１箇所にぶつかる場合のFの配置は　25C1 = 25通り
F 3個のうち２個がぶつかる、つまり２箇所に配置される場合は
25C2 = 300通り

F 3個がばらばら（つまり３箇所）に配置される場合は
25C3 = 2300通り
なので、配置方法は全部で 2625通り
よって、Fが一列に並ぶ確率は　(12*5C3)/2625 = 120/2625
ということでしょうか。
でも、ハテ？
結果が違いますね…。
（もうちょっと、考えます。）

回答No.3

noname#5537

#2 の hinebot さんのご指摘に関してです。

> で、列を１つ決めたら、そこにFが一列に並ぶためには５> マスから３マス選ぶことになるので、
> 5C3 = 10通り

私も初め 5C3 かと思いました。

でも良く考えてみると，
F1 F2 F3 □ □ と
F2 F1 F3 □ □ とを区別しないとおかしいことに気づいたのです。
いかがでしょうか？

回答No.2

hinebot

#1さんの方針でよいと思いますが、ちょっと間違っているような…。

補足を兼ねて。

>F 3個の置き方の総数は，
>25*25*25 = 15625 通り
Fは重なってもよい（ぶつかる可能性もあるとのことから）ので、25マスどこでもよいので、この式になります。

問題は次です。
>このうち一列に並ぶのは，
>(5+5+2)*5P3 = 720 通り

列は、縦5列、横5列、斜め2列の計12列あります。これが前半の(5+5+2) です。
で、列を１つ決めたら、そこにFが一列に並ぶためには５マスから３マス選ぶことになるので、
5C3 = 10通り
よって、(5+5+2)*5C3 = 120 通り
になると思うのですが。
（順列でなく組み合わせじゃないでしょうか？）

>残り二ますの数字が続けて出る確率は，
>(2/75) * (1/74) = 1/2775

質問者さんは、(1/75)*(1/74)とされましたが、最初は残り２マスのどちらの数字でも良いので、#1さんのおっしゃる通り、2/75になります。

最後にFが３個でる確率ですが、０～３個の中から個数を決めるのであれば、質問者さんのおっしゃる通り、25％(1/4)ですね。
なので、
(1/4)*(120/15625)*(1/2775)= 2/2890625

となりますが、もし、１回ずつFか否かを３回決めるのであれば、(1/2)*(1/2)*(1/2) = 1/8 となるので、

(1/8)*(120/15625)*(1/2775)= 1/2890625

となります。

回答No.1

noname#5537

まず F が3個の場合にそれらが一列に並ぶ確率を考えます。

F 3個の置き方の総数は，
25*25*25 = 15625 通り

このうち一列に並ぶのは，
(5+5+2)*5P3 = 720 通り

よって求める確率は
720/15625 = 0.04608

F が3つ並んだので，残り二ますの数字が続けて出る確率は，
(2/75) * (1/74) = 1/2775

以上と，F が 3個の確率(0.25)を掛け合わせれば，
0.25 * 0.04608 * (1/2775) = 4.15e-6