- ベストアンサー
距離空間について
- みんなの回答 （1）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
一応確認だけど 「ｄ’がＹ上の距離である」 とは, d' がどういう条件を満たすときなのか書いてもらえますか?
関連するQ&A
- 位相空間についての質問
次の集合論・位相空間論の問題が分かりません。教えていただけると嬉しいです。 (X,d)を距離空間f：X→Xを連続写像とする。 {K_n}(n≧1)を空でないコンパクト集合の列で f(K_n)⊃K_(n+1)が全てのn∈Nについて成立するとする。 このとき空でないコンパクト集合Kでf(K)=Kとなるものが存在することを示せ。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 位相空間の問題なんですが…
（Ｘ，ｄ）距離空間とし、Ｘ＝Ａ∪Ｂにおいて 連続写像 ｆ：（Ａ，ｄ）→（Ｙ，ρ） ｇ：（Ｂ，ｄ）→（Ｙ，ρ）であり 写像 ｈ：（Ｘ，ｄ）→（Ｙ，ρ） ｆ（ｘ） if ｘ∈Ａ ｈ（ｘ）＝｛ と定義する。 ｇ（ｘ） if ｘ∈Ｂ このときＡ、Ｂ共に（Ｘ，ｄ）の開集合（閉集合）ならば、ｈは連続であることを証明せよ。 という問題です。わかる方、証明のアイデアだけでも結構です。宜しくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 大学数学、位相、距離空間について
次の問題が分かりません。 距離空間（X,d）の部分集合Fについて、次の条件(1)と(2)は同値であることを示せ。 (1)Fは閉集合である。 (2)Fの点列｛ｘ_n｝がｘ∈Xに収束するならばｘ∈F 位相が苦手でほとんどわからないので、分かる方よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 幾何学の問題がわかりません。
ｆを集合Xから集合Ｙへの写像、ｇを集合Ｙから集合Ｚへの写像とする。つぎを証明せよ。 １、ｆおよびｇが単射ならばｆとｇの合成ｇｆも単射である。 ２、ｆおよびｇが全射ならばｆとｇの合成ｇｆも全射である。 ３、｜Ｘ｜＜＿｜Ｙ｜で｜｜＜＿｜Ｚ｜ならば｜Ｘ｜＜＿｜Ｚ｜である。 この問題が分からないのですが教えて頂けないでしょうか。
- 締切済み
- 数学・算数
- ユークリッド平面と連続開写像
「fをユークリッド平面R2から実数直線R1への写像としてつぎのように定める。R2∋X=<x1,x2>に対して、f(x)＝x1 このとき、fはR2からR1への連続開写像であることを証明せよ。」 以下のような流れで証明できて合っていますでしょうか？ また、もっと違う方法、簡単な方法はありますでしょうか？ 宜しくお願いします。 ------------------------------------------------------- X(x1,x2)とY(y1,y2)の距離d(ユークリッド空間R2の距離)は d(X,Y)=√{(x1-y1)^2+(x2-y2)^2} f(X)とf(Y)の距離d(ユークリッド空間R1の距離)は d(f(X),f(Y))=√(x1-y1)^2 そうだとすると √(x1-y1)^2 <= √{(x1-y1)^2+(x2-y2)^2} だから ∀ε>0,∃δ>0, d(X,Y) < δ=ε ⇒ d(f(X),f(Y)) <= d(X,Y) < ε fは連続である。 fによってR2の開集合はR1の開集合に写像されることは、連続性と同じ理由で明らか。 ∵Xの任意のε(X)近傍はf(X)のε(X)近傍の上に写像されるから、R2の開集合はR1の開集合に写像されることを意味していて、fは開写像である。 ∴fはR2からR1への連続開写像である。 ----------------------------------------------------------------
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 有限集合からなる位相空間における写像の連続性
ある位相空間Xから別の位相空間Yへの写像fが連続であるとは、Yの任意の開集合Oの逆像f^-1(O)が開集合であると定義されていると思いますが、この定義に従うと、有限集合に位相を入れた位相空間Xからの別の位相空間Yへの写像は、位相空間Xの集合が全部開集合となり、必ず連続になるのでしょうか。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 単射の定義
基本的な質問です. 数学の本のいくつかの本に単射の定義が出ていました. 集合GとG'の間に写像fがあり,Gの点x,yのそれぞれ写像の点,x',y'があるときx≠yであるとき,x'≠y'であるとき単射であるという. この定義には,写像fが一価であることを定義の要件として必ずしも明示されていない(一価であるのならばこのような定義は入らない)ようなので,次のように考えた場合矛盾があるでしょうか.いいかえれば,単射の定義としては,x≠yであるとき,x'≠y'であるだけでなく,逆のx'≠y'であるときx≠yの条件も併せてつけるべきではないでしょうか. Gの点xに対して,x1',x2'が,yに対して,y1',y2'に対応し,x≠yであるとき,x1',x2y1',y2'がいずれも異なる場合の写像は,上の定義だと単射といえるのではないでしょうか
- 締切済み
- 数学・算数
- 商空間における全射について
商空間の定義で出てくる、『全射』がよくわかりません。 内田伏一著、集合と位相の９６ページに、定義として、 (X,O)を位相空間とし、f:X→Yを集合XからYへの全射とする。集合Yの部分集合族O(f)を O(f)={H∈B(Y)|f^(-1)(H)∈O} によって定義する。 とあるのですが、ここでf^(-1)の逆写像の存在を認めていますよね？しかし、fは全単射ではなく、全射としか仮定がついていないのに、この逆写像は存在することにしてしまっていいのでしょうか？？ すごく初歩的なことかもしれませんが、アドバイスお願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- f:X→Y, g:Y→Xを集合Xと集合Yの間の写像
f:X→Y, g:Y→Xを集合Xと集合Yの間の写像とし、g⚪︎f:X→X、f⚪︎g:Y→Yをそれらの写像の合成写像とする。次の記述1から5について、 1：gが全射ならば、g⚪︎fは全射である。 2：g⚪︎fが全射ならば、fは全射である。 3：g⚪︎fが単射ならば、gは単射である。 4：Yが有限集合で、g⚪︎fとf⚪︎gが全射ならば、fは全単射である。 5：f⚪︎gが全単射ならば、g⚪︎fは全単射である。 常に正しいのは4であるそうですが、その理由がわかりません。どなたか教えて下さいませんか。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 「 f を集合 Ｘ から 位相空間（Ｙ、U)への全射とするとき、以下を
「 f を集合 Ｘ から 位相空間（Ｙ、U)への全射とするとき、以下を示せ。 １．Ｔ＝｛ f＾－１（u）｜uはUに含まれる｝とおくとき、ＴはＸ上の位相である。 ２．Ｔは f を（Ｘ、Ｔ）から（Ｙ、U)への連続写像とするＸ上の最小の位相である。」 という問題についての質問です。 まず、１番は 位相の三つの条件を一つずつチェックして行けば良いので、大体はわかったのですが、 最も基本的な条件である、「Tが空集合とＸ自身を含む」というのが示せませんでした。これはどのようにして示すのでしょうか？ それから、2番について、連続写像であることは f の定義の仕方から明らかだと思うのですが、 「最小の位相である」という部分はどのようにして示せばよいのでしょうか？ よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
