旅人算について

質問

子どもに教えるために見ていた下記の問題なのですが、解法を見てもどうしても分かりません。
どなたかご教授いただけませんでしょうか？

｛問題｝
Aは時速4km、Bは時速6kmで歩きます。Aは東町から西町に向かい、Bは西町から東町に向かいます。AはBより1時間30分早く出発したので、ちょうど東町と西町の間の中央で出会いました。東町と西町の間の距離を求めなさい。

｛解き方｝
まず、BがAに出会うまでに歩いた時間を求めます。AはBより1時間30分(1.5時間）早く出発しているから、Bが出発するときには、すでに4×1.5=6(km)歩いています。

また、A、Bは東町と西町の中央で出会ったのだから、BはAと同じ時間歩いて、Aより6kmだけ多く歩いたことになります。これはBがAよりも1時間について(6-4)km多く歩くためです。

東町と西町の間の距離は、Bが出会うまでに歩いた距離の2倍です。

｛解答｝
4×1.5＝6(km)　　　Aが先に歩いた距離
6÷(6-4)=3(時間)　Bが歩いた時間
6×3=18　　　　　　　Bが歩いた距離
18×2=36(km)

答え　36km

上記の6÷(6-4)=3(時間)の部分がどうしてこの式になるのか理解できません。
どなたか、詳しいご説明をお願いできませんでしょうか？
よろしくお願いいたします。

回答No.4

tardyk134 · ベストアンサー

こちらこそ、説明が拙いばかりに
お手数をお掛けして申し訳ないです。

ふと思ったのですが、問題文にある
「ちょうど東町と西町の間の中央で出会いました。」
の「出会う」という言葉の意味が曖昧なので、
それで混乱されている、ということはないでしょうか？

私達の日常では、誰かが誰かと会うという場合、
どっちかが先に落ち合う場所に着いていて
もう片方を待っていることが ほとんどだと思います。
また、その場所に辿り着く前に
ちょっと離れた所からでもお互いの姿が確認でき、
手でも振って「やあ」と挨拶できてしまうこともあるでしょう。

しかし、この手の問題で「出会いました」と言われたら、
それは、「同時にその地点に到着しました」ということです。
どっちかが早かったことも無く、
100mぐらい手前で姿を確認して それで会ったことになった
ということも無く、です。

つまり この問題では、
AとBは 寸分のくるいも無く全く同時に中間点に到着した
わけです。

ここが曖昧だと話が混乱してワケ分からなくなりますので、
改めて しっかり確認しておきたいと思います。
よろしいでしょうか。

さて、それを踏まえた上で、解法を見てみます。
（これで分かって頂ける自信が、イマイチ無いのですが……(汗）

前提として、前回書いたように「AとBが歩いた距離は同じ」
ということも頭に置いておいてください。

AはBに6km先行していました。
その6kmを、Bは、ちょうど自分が歩いた時間だけかけて
追い付いたわけです。
そうですよね。AとBは「全く同時に」ゴールに着いたのですから。

Bは、
ゴールに着く前にAを追い越したわけでもなく、
Aがゴールに着いたあとから遅れてゴールに着いたわけでもなく、
Aと全く同時にゴールに着いたのです。

Aに追い付いた地点とゴールが、偶然にも完全に一致したわけです。

ということは、
Aに追い付くまでに掛かった時間が、そのまま、Bが歩いた総時間
になるわけです。

もう一度書きます。
Bは、ちょうど自分が歩いた時間だけかけてAに追い付きました。

ここから、
Bは何時間歩いたのか？　を求めたければ、
BがAに追い付くまでに何時間かかったか？　を求めれば良い
という考え方が出てきます。
両者は、この問題では全く等しいですから。

Aが先行していたのは6kmです。
Bは一時間につき、その差を2kmずつ縮めて行きます。
（前回書いたように、一時間後には差が4kmになり、
二時間後には差が2kmになります）
差がゼロになる = 追い付く までの時間（すなわち、Bが歩いた総時間）は、
6[km] を 6-4=2[km/h] で割れば、3[h]（3時間）という数字が出ます。

お分かりになって頂けたでしょうか？

お礼

何度も何度もご親切なご回答をいただき、ありがとうございました。本当に恐縮しております。
「Aに追いつくまでに掛かった時間が、そのまま、Bが歩いた総時間」とのご説明ではっと気付きました。
そうですよね、追いつくと同時にゴールしたのですよね。なので先行分の6kmが0kmになるまでにかかった時間がBの歩いた総時間になる・・・！　良く分かりました。素晴らしいご解説に心より感謝申し上げます。これからも算数の問題をこちらでお聞きすることがあるかと思いますが、（図々しいですが）また解答者さまにご解説いただければ幸いです。この度は本当にありがとうございました。

回答No.3

tardyk134

#2 です。
やはり、説明の仕方が悪かったようです。すみません。

別々の町からスタートして中間で出会う
という設定だから分かりにくいのかもしれません。

同じところから出発して同じゴールに行く
という設定に置き換えてみましょう。

最初の設問では、「ちょうど～中央で出会」った、
すなわち、歩いた距離がABとも同じということですから、
そうやって置き換えても構わないですよね。

「先に出発したAを、あとからBが追いかけたら、
AとBが同時にゴールしました。
ゴールまでの距離は いくらでしょう？」
という設問を考えれば良いわけです。

BがAに追いついたところが
ちょうどゴールであった、のですね。

最終的には、その距離を二倍にしないと
最初の設問の答になりませんが、
考え方として、ということで。

ここまでは、よろしいでしょうか。

では、具体的に数字を入れて見ていくことにします。

Bが出発するとき、Aは既に6km地点に到達しています。
以下、時系列で追っかけてみましょう。

Bが出発して一時間たったら
・A…10km地点 に居ます
・B…6km地点 に居ます
　（差が4kmに縮まりました）

Bが出発して二時間たったら
・A…14km地点 に居ます
・B…12km地点 に居ます
　（差が2kmに縮まりました）

一時間ごとに (6-4) = 2[km] ずつ差が縮まって行くのが
お分かりになるでしょうか？

そして、
Bが出発して三時間たったら
・A…18km
・B…18km
　（差がゼロになりました）

同時にゴールした、というのですから、
すなわち、この18km地点がゴールです。

最初の差が6kmあって、
一時間に2kmずつ差が縮まって行くのだから
差がゼロになる（追いつく）までには
Bが出発してから3時間かかります。

で、
Aに追いついたら そこがゴールだった
のですから、
Bが歩くのもそこまでです。

Bは時速6kmで3時間歩きましたので、
歩いた距離は18kmです。

あとは、これを二倍にして、最初の設問の答
東町と西町の間の距離、が得られます。

……却って分かり難くなりましたかね？
分からない場合は遠慮なく仰ってください。
説明の仕方を、もっと考えます。

お礼

ご親切に何度もありがとうございます。ちょっと立て込んでいて、お礼がすっかり遅くなり申し訳ございませんでした。でもとても細かなご説明をいただき、（特に同じ方向に進む、時系列で考えるというヒントがとても分かりやすかったです）大変感謝しております。

ただ、ご説明は全て理解できたのですが、参考書の解説にある、6÷(6-4)=3の式がどうしても理解できず・・・　もう少しお聞きしてもよろしいでしょうか？

なぜ、Aの先行分の距離=6kmを二人の速度の差2kmで割るとBが歩いた時間=3時間が求められるのでしょうか？「先行分のみを速度の差で割る」というところがどうしても理解できず・・・　お手数ですがご解説をお願いできますでしょうか？大変申し訳ございませんがよろしくお願いいたします。

回答No.2

tardyk134

何となくアクロバティックな解き方ですね。
でも、言われてみれば なるほどなぁと思います。

Aは、一時間半 早めに出発したために、
Bより6km先に進みました。

最終的に両者が歩いた距離は同じなのですから、
その「6km」というのは、
速いほうのBが歩く総時間で 埋め合わせが出来る
距離なわけです。

Bは、一時間につき、Aより (6-4) = 2[km]
速く歩くことが出来ます。

つまり、一時間で (6-4) = 2[km] だけ
埋め合わせが出来ていくわけです。

一時間に (6-4) = 2[km] ですから、
6[km] の埋め合わせをするには 3時間必要です。

それを式に書いたのが、
6÷(6-4)=3 です。

これで「Bは3時間歩いた」ということが分かるのですね。

文字だけで書くと分かりづらいですね。
説明の仕方が稚拙で申し訳ないのですが、
お分かりになって頂けたでしょうか？

お礼

ご丁寧なご回答、ありがとうございました。ですが、なかなか物分かりが悪く(^_^;)、すみません、もう少しお聞きしたいのですが、よろしいでしょうか？

埋め合わせをするのに3時間かかるのは分かるのですが、中央の地点にBがたどり着くのは埋め合わせをした後、さらに歩いてから・・・と思うのですが、埋め合わせの時間のみでBは中央地点に到着とご説明くださっていますよね？

どうして埋め合わせにかかった時間のみで中央地点にBがたどり着くということになるのでしょうか？

何度も恐縮ですが、ご説明のほど、どうぞどうぞよろしくお願いいたします。

回答No.1

Knotopolog

＞上記の6÷(6-4)=3(時間)の部分がどうしてこの式になるのか理解できません。

6÷(6－4)＝3(時間)　で，(6－4)　の 6 は，B の時速 6km で，
(6－4)　の 4 は，A の時速 4km のことです．

お礼

ご解説、ありがとうございます。感謝いたします。