積分について

質問

積分の公式で1/xを積分するとlogxになるというものがありますが、ふと思ったことがあるので質問します。

たとえば・・・

1/xを微分しなさいと言われたら、x^-1という指数にしてから、nx^n-1という法則にしたがって
計算するのが普通だと思います。
そうするとこの答えは、-x^-2=-1/x^2となると思います。

ですが、1/xを積分しなさいと言われたら、普通公式をつかってlogxとしますが、
微分と同じようにやるならば、x^-1として、
1/n+1x^n+1より、１という答えになります。

なぜ積分は微分と同じように1/xをx^-1という指数の形にして計算できないのでしょうか？

誰か証明できる方はいませんか？

回答No.8

alice_44 · ベストアンサー

＞ でも一応理工系の学生なので、

５＊０が０になる理由を、世の中の自然の成り行きでそうなってるから
だと考えたいのであれば、工学系の学科に進むことを勧めます。
貴方は、理学には向かないでしょう。

＞ 貴方が求めているものは、例え話であって、明確な論証ではないから。

を A No.7 さんが、もう少し穏当に言い替えています。

＞「理由を証明する」なんて言い回し世界中の数学者誰一人として言わない

要するに、証明以上に「明確な理由」がどこかにあると考えている時点で
数学とは縁のない世界の住人だということです。

回答No.7

ringohatimitu

＞＞それと、５＊０とは違いますが、１＋１＝２になる理由を証明しようとしている
数学者も世の中にはいるくらいですから、５＊０が０になる理由も証明しようと
すれば頭のいい方は証明できるのかもしれませんね。

こういう内容に対してついつい回答したくなってしまうのは悪いクセですがちょっと言わせてもらうと、、
「１＋１＝２になる理由を証明」とか「５＊０が０になる理由も証明」の言葉使いに違和感を覚えてしまうんですよ。なぜなら「理由を証明する」なんて言い回し世界中の数学者誰一人として言わないでしょうから。１＋１云々以前に「証明」という言葉の意味から確認した方がいいと思います。数学というものを考えてる以上あなた自信認めてる定義があるでしょう？それってどんなものですか？定義が無ければ数学は始まりません。

蛇足ですが・・・１＋１＝２とかの理由を考えてもあまり実りないと思いますけどね。将棋の例で言えばあなたの質問は「歩ってなぜ一つしか前に進まないの？」っていうのと変りないと思えます。そして答えるとすれば「特に理由はないよ、ただそのルールに従うとなかなか面白いゲームが楽しめるのでみんなそれに従ってるまでだよ」くらいでしょうか。

補足

確かにそうですね。
そうしないと数学は始まらないから、定義しないとだめですね。
定義しないと前進しないですもんね。

ですが、たぶん将棋だったら、なぜ歩って前に一歩しか進めないの？って聞かれたら、理由だけでは自分の場合終わらせられないですね。

将棋が出来た時代背景、歩の漢字の意味、なぜ将棋を考えた人は歩をそのような動きにしたのかという詳しい中身まで説明しますね。
このように理由のない現象などは存在しないと思いますから。

これからはできるだけあまり疑問に思わないように心がけたいと思います。
ある範囲を越えたらその領域は、ブラックボックス化して考えていこうと思います。
性格上、例えば、今日遊びに行こうと質問して、無理と言われたら、なんで？と返して、それで、疲れてると言ってきたら、またなんで疲れてるの？と聞いてしまうような性格なので・・・
それで、結局質問が永遠のように続くこともありますし。

回答No.6

alice_44

うーん。後半の 5×0=0 のような意味での説明が欲しいのなら、
数学と関わり合うのは、もうやめにしたほうが良いかもしれない。
貴方が求めているものは、例え話であって、明確な論証ではないから。
なんとなく納得できる例え話なら、物理学にでも求めたほうがいい。

ちなみに、0 で割ることは「許されない」のではなく、
試みるのは勝手だが、答えが決まらないことは既に解っている
というだけのこと。数学に「許されない」ことなど何も無い。
「数学は自由だ。」という言葉を、聞いたことないかね。
矛盾した仮定を置くことは自由だが、矛盾した結果が出る。

ところで、∫(1/x)dx が冪関数でないことの
最も明確な説明は、実際に積分してみせることなのだろうと思う。
log x を微分することで、それは得られる。

補足

数学と関わるのがやめた方がいいですか。。。
でも一応理工系の学生なので、それはできないと思います。

それと、５＊０とは違いますが、１＋１＝２になる理由を証明しようとしている数学者も世の中にはいるくらいですから、５＊０が０になる理由も証明しようとすれば頭のいい方は証明できるのかもしれませんね。
５＊０が０になるのは当たり前だ。世の中の自然の成り行きでそうなってるっていうんじゃなくて。

ちなみに、0 で割ることは「許されない」ってのは、先生が言ってたことなんで、そう書きました。許されないってのは、定義できないって意味です。

数学に許されないことは確かにないと思いました。
なぜなら世の中にはイムレ・シモンという数学者が考えたトロピカル数学っていうものがありますもんね。その計算の中では３＋６＝６、３＊０＝３ってなっちゃいますもんね。

回答No.5

alice_44

同じようにやった結果の式は、
そもそも定義することすらできない代物だから。
…が明確な理由でないという理由が解らない。
自分が何を欲しているかは、明確？

それと、A No.4 は、微分だって
全ての n で同じようにできている訳ではない
ことを説明したのだけれど。

補足

やっぱり納得は少しいかないですね。
０で割ることはできないから微分と同じように計算できないで片づけられないですね。

たとえば、x^2+y^2=z^2の指数を３以上にするとイコールにならないというフェルマーの最終定理がありますが、それも当り前っちゃ当たり前のような気もしますが、それを真面目になぜかと探求した人もいるわけですよね。

なので、このx^-1の積分についてもそんな感じで０で割ることは数学的に許されないからできないで片づけてしまうのは自分としてはもやもやしてしまうわけです。
普通の人は納得できると思いますが。
ここまでいくと世の中の自然の法則まで入りこんでいるような気がしますが・・・

ほかにも数学には納得いく部分と納得いかないところがあります。

（余計なことですが、昔、５＊０＝０となる理由も納得いかなかったです。なぜなら、真空状態（無）の世界でも物質は生成されるからです。インフレーションが起こって、空間が構成されたように。ですから、０というのはなにもない状態とも言い切れないのではないからという考えから、５＊０＝０という理論が納得できませんでした。２＋３＝３＋２も、時間的過程を取り入れてやれば単純にイコールで結びつけてもいいものなのかと疑問に思っていました。２＋３は初期値が２で、３＋２は初期値が３で出発点が違うわけですから、イコールで単純に結びつけるのはどうかなと思ったわけです。余計な話ししてすいません。）

回答No.4

alice_44

x^-n を繰り返し積分していくと、-1 乗の次が冪乗でない形になるけれど、
x^n を繰り返し微分していくときも、0 次式(0 でない定数式)の次は、
-1 次式ではなく、「x の □次式」とは呼べない形(定数式 0)になったんでしたよね。

補足

できない理由を説明してほしかったのですが・・・
明確な理由です。
ですから０で割ることになるにからできないのではなくて、微分と同じようになぜできないのかということです。

それと１になりませんね。
間違ってました。すいません。
０で割ることになるので、定義できませんね・・・

回答No.3

ringohatimitu

無理やりやろうとすればα≠0のときにx^αを積分しておいて{x^α}/αでn→0の極限を考えるくらいでしょうか。一応log(x)は出てきますけどね。でもほとんど循環論法かな・・・
＃２さんも指摘されてるように「0で割る」ことがネックになってることは間違い無いです。

回答No.2

alice_44

＞ 微分と同じようにやるならば、x^-1として、
＞ 1/n+1x^n+1より、１という答えになります。

{1/(n+1)}x^(n+1) の 1/(n+1) が 0 除算であることには、
不安を感じないの？

回答No.1

sanori

こんにちは。

私が４年前に似た質問をしたことがあります。
http://okwave.jp/qa/q3295052.html
不思議ですよね。

＞＞＞なぜ積分は微分と同じように1/xをx^-1という指数の形にして計算できないのでしょうか？

足し算の逆を引き算と呼ぶことにした
掛け算の逆を割り算と呼ぶことにした
指数の逆を対数と呼ぶことにした
微分の逆を積分と呼ぶことにした
ということです。
log |ｘ| の微分が １／ｘ　である以上、１／ｘ　の積分は　log |ｘ| ＋ Ｃ　とするよりないです。

＞＞＞誰か証明できる方はいませんか？

高校の教科書で示されていますね・・・・・としか答えられません。