数IIの問題

質問

解説して下さい。
よろしくお願いします。

関数f(x)=log2x+2log2(6-x)の最大値を求めよ。

回答No.2

OurSQL

「数IIの問題」ということは、
log2x --> 底が 2, 真数が x,
log2(6－x) --> 底が 2, 真数が 6－x
ですよね。

底の 2 を省略して書くと、f(x) = log { x (6－x)^2 }
g(x) = x (6－x)^2 とおいて、0 < x < 6 における g(x) の増減を調べれば答えが求まります。

回答No.1

sanori

こんにちは。

ｆ（ｘ）　＝　log２ｘ　＋　２log２（６－ｘ）
　＝　log２　＋　logｘ　＋　２log２　＋　２log（６－ｘ）
　＝　３log２　＋　logｘ　＋　２log（６－ｘ）

ｆ’（ｘ）　＝　１／ｘ　＋　２・（－１）・１／（６－ｘ）
　＝　１／ｘ　－　２／（６－ｘ）

ｆ（ｘ）が極値を持つとき、ｆ’（ｘ）＝０
１／ｘ　－　２／（６－ｘ）　＝　０
（６－ｘ）　－　２ｘ　＝　０
ｘ＝２

最大値は、
ｆ（２）　＝　log（２×２）　＋　２log２（６－２）　＝　log４　＋　２log４
　＝　３log４　＝　３log２^2
　＝　６log２
となるはずですが、ｘ＝２　の両側のどこかで　ｆ（ｘ）が　６log２　より小さくなることを点検します。