すうがく

質問

Ｘの二次方程式
x^2＋2(kー3)x＋kー1=0が
2つの虚数解をもつとき
kの値の範囲を求めよ

解説してくださいm(__)m

回答No.3

nattocurry

2つの虚数解を持つということは、実数解を1つも持たないということです。

x^2+2(k-3)x+k-1=0
x^2+2(k-3)x+(k-3)^2=-k+1+(k-3)^2
(x+k-3)^2=-k+1+k^2-6k+9=k^2-7k+10=(k-2)(k-5)

実数解を持たないので、右辺＝判別式＜0となります。
よって、2<k<5

回答No.2

halcyon626

判別式
Ｄ＝(k-3)^2-(k-1)
　＝k^2-7k+10
二次方程式が２つの虚数解を持つ時、Ｄ＜０です。
よって、k^2-7k+10＜０
　　　　(k-2)(k-5)＜０
答え　　2<k<5となります。

何で、Ｄ＜０となるの？？と思うかもしれませんが、
実数解を持つ条件がＤ＞０、Ｄ＝０で、Ｄ＜０は実数解を持ちません。
よって、Ｄ＜０に実数解が無いので、虚数解が存在するのです。
虚数のことをもっと知りたい。となると、大学レベルの話になります。
いずれにしても、基礎知識のレベルでなく、専門知識の領域なので、
虚数が存在する時、判別式Ｄ＜０と憶えておくのが無難でしょう。

回答No.1

bgm38489

2次方程式ax^2+bx+c=0の解は、x=(-b±√（b^2－４ac))/2aですね。虚数解をもつときは、b^2-4ac<0なわけです。実数解を持つときは、判別式が正、重解を持つときは０、虚数解をもつときは負の値。後は、実際のｋの式を作れば、二次不等式となって、ｋの範囲が求まるまで。