わからない問題があります。教えてください。

質問

1辺の長さが4の正四面体ＯＡＢＣに球が接している。
(1)△ＯＡＢの面積Ｓ₁を求めよ。
(2)正四面体ＯＡＢＣの体積Ｖ₁を求めよ。
(3)内接球の半径rを求めよ。
(4)内接球の表面積Ｓ₂、体積Ｖ₂を求めよ。

教えてください。お願いします。

回答No.2

gohtraw · ベストアンサー

（１）△OABは一辺が４の正三角形ですから、OからABに垂線を下ろすとその長さは２√３です。
（２）ABの中点をDとし、△ODCを考えます。ODとCDは上記の通り長さ２√３、COは長さ４です。DからCOに垂線を下ろして、その長さをｘとして三平方の定理を使うと
x^2=(２√3)^2-2^2=8　よってx=2√2
となるので、△ODCの面積は4*2√2/2=4√2　です。次に△ODCについてCDを底辺と考えるとOからCDに下ろした垂線の長さは4√2*2／2√3=4√2/√3=4√6/3　です。これはOABCの高さに相当します。
（３）内接円の中心をQとし、四つの三角錐、QABC、QABO、QCAO、QBCOを考えます。これらは合同で、底面は一辺４の正三角形、高さは内接円の半径です。従って
V1=4*S1*r/3
が成立します。
（４）これはｒが判れば楽勝ですね。

お礼

参考になりました。ありがとうございます。

回答No.3

nattocurry

暇だったので解いてみました。
計算違いがあるかも。

(1)

ABの中点をDとし、△OADに注目すると、
OA=4、AC=2、∠ODA=90°、なので、
OA^2=AC^2+OD^2
16=4+OD^2
OD^2=12
OD=√12=2√3
△OAB＝底辺×高さ÷2＝AB×OC÷2＝4×2√3÷2＝4√3

三角比を使うと、
△OABは正三角形なので、
△OAB＝OA×OB×sin60°÷2＝4×4×√3/2÷2＝4√3
と簡単に求められます。

(2)

ABの中点をDとし、△OCDに注目すると、
OC=4、OD=CD=2√3
△OCDは二等辺三角形
OCの中点をEとし、△ODEに注目すると、
OD=2√3、OE=2、∠OED＝90°、なので、
OD^2=OE^2+DE^2
12=4+DE^2
DE^2=8
DE=√8=2√2
△OCD=OC×DE÷2=4×2√2÷2=4√2
CDを底辺としたときの高さは、
高さ=4√2×2÷CD=8√2÷2√3=4√2/√3
正四面体OABC=底面積×高さ÷3=4√3×4√2/√3÷3=16√2/3

(3)

正四面体OABCに球が内接しているということは、△OCDの面で切断すると、△OCDに円が内接しているということである。
△OCDの面積は、4√2
一方、内接円の中心をQとすると、△OCDの面積は、
△OCD=△QOC＋△QCD＋△QOD
とも書ける。
△OCD=(OC×r÷2)+(CD×r÷2)+(OD×r÷2)=(OC+CD+OD)×r÷2=(4+2√3+2√3)×r÷2=(2+2√3)×r
よって、
4√2=(2+2√3)×r
r=2√2/(1+√3)=2√2(√3-1)/((√3+1)(√3-1))=2√2(√3-1)/2=√2(√3-1)

(4)

S2=4πr^2=4π(√2(√3-1))^2=4π(2(4-2√3))=16π(2-√3)

V2=4πr^3/3=S2×r/3=16π(2-√3)×√2(√3-1)/3=16√2×π(2√3-2-3+√3)/3=16√2×π(3√3-5)

回答No.1

Cupper-2

１．三角形は正三角形である。
　　正三角形の高さはいくつになるのかを思いだしてください。

２．三角形の面積が分かれば、正四面体は「三角錐」ですので、
　　高さを求めれば体積は計算できます。
　　高さは…正四面体を縦に割った時の断面を考えると分かりやすいでしょう。

３．断面…が分かれば半径を求められます。

４．半径が分かれば、面積も体積も計算できますね。

考え方のアドバイスをしましたので、分からないところはご自身で調べてみてください。
お手元にある教科書やインターネットの検索で十分な答えを見つけられるはずです。

※ 答えや計算式を示すだけでは本当に理解することとはほど遠いところで収まってしまいます。
　　これでは「理解」にならないので問題の解決にはならないと思うんですよ。
　　考える力を身に付けるようにしましょう。