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Dirichlet約数問題とGauss円問題の類似
- Dirichlet約数問題とGauss円問題は類似している
- Gauss円問題とは、与えられた自然数nに対して円の内部にある格子点の個数を求める問題である
- Dirichlet約数問題とは、与えられた自然数nに対して約数の個数の合計を求める問題である
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途中迄解いたのですが、最後の問題がわかりませんでした。宜しくお願い致します。 自然数mに対して、直線 y= mxと、放物線 y=x^2で囲まれた領域をDmとする。 ただし、Dmは境界線を含む。 また、領域Dmに含まれる格子点の個数を dmとおく。 ここで、格子点とはx座標とy座標がともに整数になる点のことである。 この時、d1= 1、d2 =3、d3 =7、である。 また、0≦ k ≦ m である整数k に対して、 直線x = k上の格子点で、領域Dmに含まれるものの個数は、 mx- k^2 + 1 である。 従って、dm =(m +□)(m^2 - m +□)/□ である。
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(1) 2x+3y≦6n, x≧0, y≧0 (aは正の整数) を満たす点P(x,y)で、x,yがどちらも整数であるもの(格子点)の個数を求めよ。 (2) 2x+3y+6z≦6n, x≧0, y≧0 z≧0 (aは正の整数) を満たす点P(x,y,z)で、x,y,zがすべて整数であるもの(格子点)の個数を求めよ。 という問題で、 (1)は不等式を図示して y=k(k=1,2・・・)とy=-(2/3)x+2n の交点は( 3n-(3/2)k , k ) 交点が整数であるために2k=mとおくと、 y=m上の格子点の数は 3n-3m+1 よって、1≦y≦2nにおいて、y=(偶数)上の格子点の数は Σ[m=1,n](3n-3m+1) =(3/2)n^2-(1/2)n また図から、y=2k-1上の格子点の数は y=2k=m上の格子点の数より1多いので、 1≦y≦2nにおいて、y=(奇数)上の格子点の数は Σ[m=1,n]{3n-3m+2} =(3/2)n^2+(1/2)n y=0上の格子点の数は3n+1より、 求める値は (3/2)n^2-(1/2)n+(3/2)n^2+(1/2)n+3n+1 =3n^2+3n+1 ここまでは分かりました。 (2)はどうやっていいか手の付け方も分かりません。 (1)を使って簡単にして解くような気はします(分かりませんが)。 分かる方お願いします。
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お礼
まことにありがとうございます。 N(n)~(n^4)/6 ということですね。すると、この問題の場合もより詳しい近似が問題になりそうですね。