導波管にＴＥＭ波が伝搬しない理由

質問

導波管について勉強しているのですが、導波管にＴＥＭ波が伝搬しない理由として
　導波管ではTEM波は∇^2φ=0を満たし、
１．∇^2φ=0を満たすので電磁界の模様は静電界および静磁界のそれと全く同様である
２．同一電位の導体壁で囲まれた空間内には静電界は存在しない
という２つが挙げられるということがわかったのですが、理解できないことがあったので質問させていただきます。
　１について、∇^2φ=0のラプラス方程式を満たすことでなぜ電磁界の模様は静電界および静磁界のそれと全く同様であるということがわかるのでしょうか？
　次に２について、同一電位の導体壁で囲まれた空間内には静電界は存在しないことを証明するにはどうすればよいでしょうか？
　分かる方詳しく教えてください。

回答No.1

endlessriver · ベストアンサー

z方向に伸びた導波管を考え、TEM波すなわち、Ez=Hz=0とする。
するとマクスウエルの式から
(∂x)^2Ex+(∂y)^2Ex=0, (∂z)^2Ex=εμ(∂t)^2Exなどの式を得る。

すなわち、電磁界の各成分をφとすると Δφ=0 が成立する。ただし、Δ=(∂x)^2+(∂y)^2である。

ここで2次元のグリーンの定理
　　∮(Mdx+Ndy)=∬(∂xN-∂yM)dxdy
において、M=φ(∂yφ)、N=-φ(∂xφ)とおけば
　　∬(∇φ)^2dxdy=∮φ((∂xφ)dy-(∂yφ)dx) - ∬φΔφdxdy
となる。

上の右辺第２項は０だから
　　∬(∇φ)^2dxdy=∮φ((∂xφ)dy-(∂yφ)dx)
ここで、φ=Exを取るとdiv E=0 を使って
　　∬(∇Ex)^2dxdy=-∮Ex∂y(Eydy+Exdx)

境界条件、n×E=0 のnに方向が同じ(dy,-dx)を代入すると
　　Eydy+Exdx=0
をえる。すなわち、
　　∬(∇Ex)^2dxdy=0
となる。

これは、∂xEx=∂yEx=0 即ち、Ex=const.を意味する(正確にはzのみの関数)。ところが、境界は閉曲面だから、x軸に平行な面がどこかにある。そこでは、Ex=0 で結局、すへての座標でEx=0。
同様に、Ey=0となる。

ゆえに、電界は存在しないと結論される。
磁界については計算していないが、多分?ということで。

回答No.2

endlessriver

#1です。
誤りのような気がします。m(_ _)m