- ベストアンサー
Re(s)>1,{1/n^s}が広義一様収束?
Re(s)>1, f_n(s):=1/n^sの時, 関数列{f_n(s)}が広義一様収束 となる事を示したしたいのですが どのようにすれば示せますでしょうか? 一応,広義一様収束の定義は 「D⊂C, f_n,f:D→Cとする。{f_n}がfにD上広義一様収束する ⇔ ∀D'∈{D';D⊃D'は有界閉集合}, lim_{n→∞}sup{|f_n(z)-f(z)|∈R;z∈D'}=0」 だと思います。
- みんなの回答 (3)
- 専門家の回答
関連するQ&A
- 複素級数の広義一様絶対収束について
∑_{n=1}^{∞} 1/(z^2+n^2) が|z|<1で広義一様絶対収束することを示せという問題なんですが、解答の方針がさっぱり見えません。おそらく、∑_{n=1}^{∞} { 1/(z+n) + 1/(z-n) } の|z|<1での広義一様絶対収束性が分かっているので、このことを使うと思いますが、ここから手詰まりです。解答の指針だけで結構ですので、教えてください。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- f_n=g_n a.e on R^nとする。g_n→g(測度収束)ならばf_n→g(測度収束)を
次の問題で質問です。 [問]f_n=g_n a.e on R^nとする。g_n→g(測度収束)ならばf_n→g(測度収束)を示せ(f_n,g_n,gはルベーグ可測な関数)。 [証明] R^nでの殆どいたるところでf_n=g_nだというのだから零集合Zを除いたx∈Eではf_n(x)=g_n(x)という意味だと思います。 f_n,g_n,gをE⊂R^n上のルベーグ可測関数とする。 仮定より,0<∀ε∈R,0=lim[n→∞]μ({x∈E;|g_n(x)-g(x)|≧ε}) =lim[n→∞]μ({x∈E\Z;|g_n(x)-g(x)|≧ε}∪{x∈Z;|g_n(x)-g(x)|≧ε})(但しZは零集合) =lim[n→∞](μ({x∈E\Z;|g_n(x)-g(x)|≧ε})+μ({x∈Z;|g_n(x)-g(x)|≧ε})) (∵測度の定義(可算加法性)) =lim[n→∞](μ({x∈E\Z;|f_n(x)-g(x)|≧ε})+μ({x∈Z;|g_n(x)-g(x)|≧ε})) (∵仮定「f_n=g_n a.e.」) =lim[n→∞](μ({x∈E\Z;|f_n(x)-g(x)|≧ε})+0) (∵零集合の定義) =lim[n→∞]μ({x∈E\Z;|f_n(x)-g(x)|≧ε}+μ({x∈Z;|f_n(x)-g(x)|≧ε})) (∵零集合の定義) ≧lim[n→∞]μ({x∈E\Z;|f_n(x)-g(x)|≧ε}∪{x∈Z;|f_n(x)-g(x)|≧ε})) (∵測度の定義) =lim[n→∞]μ({x∈E;|f_n(x)-g(x)|≧ε}+) 即ち, 0<∀ε∈R,lim[n→∞]μ({x∈E;|f_n(x)-g(x)|≧ε})=0. ∴ {f_n}はgに測度収束する。 となったのですがこれで正しいでしょうか?
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 収束S_(n+1)=S_n+log(a-S_n)
S_1=log a として S_(n+1)=S_n+log(a-S_n) とすると {S_n}が収束することを示せという問題なのですが、 とき方としては、 まず問題文よりa>0またすべてのnにおいてa-(S_n)>0 これを変形してa>S_n よって、S_nは上に有界である。…(1) ここでf(x)=x-logxを考える(0<x) f '(x)=1-1/xであるためf(x)の最小値はf(1)=1であることがわかる。…(2) 任意のnに対し S_(n+1) =S_n+log(a-S_n) =S_n+log(a-S_(n-1)-log(a-S_(n-1)) Y=a-S_(n-1) とおいて代入すると =S_n+log(Y-logY) 2の結果より 1)Y≠1 log(Y-logY)>0になるので、すべてのnにおいてS(n+1)>S(n)となり、(1)とあわせ、数列は収束する 2)Y=1 log(Y-logY)=0になり、S_(n+1)=S_nとなる。この場合はすべての項が同じになる。 よって数列{S_n}は収束する 収束値LはL=L+log(a-L)⇔log(a-L)=1⇔L=a-1である。 で回答の方針はあってますか?何か間違いがあったら指摘お願いします。まったく見当違いな解答でしたら、正しいやり方のヒントお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 絶対収束するかという問題です。
絶対収束するかという問題です。 Σ(n=1→∞) {(n!z^n)/n^n}が|z|<eで絶対収束するか?という問題で, ダランベールの判定法を使うのだと思うのですが, lim(n→∞) {(n!z^n)/n^n}<1?っていう状態で・・・。 どなたか解説お願いします。 あと,もう一問 Re(z[n])≧0のz[n]に対して,Σ(n→∞) z[n],Σ(n→∞) (z[n])^2がともに収束するならば,Σ(n→∞) |z[n]|^2も収束することを示せという問題もできればお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- Σ[n=0..∞](-1)^n/nの収束はどうやってわかりますか?
Σ[n=0..∞](-1)^n/nの収束・発散を吟味して収束ならその和を求めようとしていま す。 実際に判定してみましたら lim[n→∞]|a(n+1)/a(n)|=lim[n→∞]|((-1)^(n+1)/(n+1))/((-1)^n/n)|=lim[n→∞]|-n/(n +1)|=1で判定不能になってしまいました。 こういった場合はどうすればいいんでしょうか? 和についてですがとりあえず 収束という前提で収束値を求めてみましたら log(1+x)=Σ[n=1..∞] {(-1)^{n-1}/n}・x^n x=1代入で,log2 =Σ[n=1..∞] (-1)^(n-1)/nとなりましたがこれで正しいでしょうか?
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 広義一様収束関連の問題
お世話になります。 テキストに下記の様な証明が書かれております。※箇所(2箇所)に就き、何故そう言えるのか?ご教示下さい。 ■命題: 実数上の連続関数F(x)に対して、F(x/n)→F(0)(n→∞の時)であり、この収束は実数上で広 義一様収束である。 ■証明: 任意のxに対し、x/n→0(n→∞の時)。従って、F(x/n)→F(0)・・・※(xは任意なので、x=∞ の場合、x/n→0とは云えないのではないか? 次に、この収束が[-R,R]で一様であることを示すとし、 そのためには、 任意のε>0に対して、あるNが存在して、 |x|≦Rかつn≧Nの時、|F(x/n)-F(0)|<ε・・・式(1) が成り立つことを示せばよいとし、 x=0におけるF(x)の連続性に依り、あるδ>0がが存在して、 |x|<δの時、|F(x)ーF(0)|<ε が成り立つので、 N>R/δ・・・※ となるようにNを取れば式(1)が成り立つ。
- 締切済み
- 数学・算数
- 各点収束について
各点収束性と同値になるノルムをC(Ω)上に与えることはできないことを証明したいのですが、いまいち理解できません。ヒントによると、 ΩをR^n上の有界閉集合として、Ω=[0,1]、各点収束の際によくでる例題 f_n(x)=nx (0≦x≦1/n) 2-nx (1/n≦x≦2/n) 0 (2/n≦x≦1) を考えます。これを使ってg_n=f_n/∥f_n∥を考えて、∥g_n∥=1かつ g_n→0となり矛盾を導きたいのですが、ここの部分が理解できません。 なぜ、g_n=f_n/∥f_n∥を考えて、∥g_n∥=1になるかが理解できません。わかる方、どうか解説をよろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 数学 幾何学?
学校で出された問題なのですが解答がなくて困っています。 できたら詳しく解説を載せて教えてください。 1. A,B⊂R(A≠ø、B≠ø)とする A+B={z;∃a∈A,∃b∈B、z=a+b}とおく。このとき、A,Bが上に有界ならば、A+Bも上に有界でsup(A+B)=supA+supBであることを示せ。 2.Rの部分集合Sがエウに有界ならば、上界の中に最小の上界が存在することを示せ。 3.数列{an}、{bn}が収束するとき、数列{anbn}も収束して、lim n→∞(anbn)=lim n→∞an lim n→∞ bnであることを示せ。 以上よろしくお願いします
- 締切済み
- 数学・算数
お礼
どうも有難うございました。お蔭様で解決できました。