数学の問題です。これで合っていますか？

質問

「楕円(x^2)+(2y^2)=2の異なる２接線が直交するとき、その交点Pの軌跡を求めよ」という問の答えとして, 下のような解答を考えましたが, 論理が途中でおかしくなっている気がします.
一般的にはもっとスマートな解き方があるようなのですが, これでも大丈夫なのかどうか意見をください. よろしくお願いします.
（途中計算は省略しました）

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P(s, t)とおく.
直交する２直線のうち１つを m(x-s)+n(y-t)=0 ・・・(1)　とする.
この時、任意のm, nに対してs, tは存在すると考えられる.

i ) m≠0 ∧ n≠0 のとき
　　n/m=k とすると、直線(1)はy=kx+(t-ks)とおける.
　　これと楕円(x^2)+(2y^2)=2が接するので,
　　まずyを消去してxについて整理すると, (1+2k^2)x^2+4k(t-ks)x+2{(t-ks)^2-1}
　　これの判別式DについてD=0より, D/4={2k(t-ks)}^2-(1+2k^2)(t-ks)^2+2(1+2k^2)=0
⇔(2-s^2)k^2+2stk+(1-t^2)=0・・・(2)

　　点Pを通り(1)に直交する直線x=-ky+(s+kt) についても同様の操作を施し,
式(1-t^2)k^2-2stk+(2-s^2)=0・・・(3) が得られる.

　　ここで(2)＋(3)より,
(3-s^2-t^2)k^2+(3-s^2-t^2)=0
任意のkに対してこれは成立するから, kについて恒等式とみて
　　s^2-t^2=3・・・(4)
これをP(s,t)の満たす式とすると, 題意を満たす.

ii ) n=0 ∨ m=0 のとき
　　条件に適するのは(√2, 1) (-√2, 1) (√2, -1) (-√2, -1) の４点.
　　以上はいずれも(4)式を満たす.

よって,　求める軌跡は半径√3, 原点中心の円.

回答No.2

alice_44 · ベストアンサー

＞ この時、任意のm, nに対してs, tは存在すると考えられる.

の箇所に、根拠が無さそうなのが気になりますが…

＞ これをP(s,t)の満たす式とすると, 題意を満たす.

の箇所で、十分性を正しく示せているか？もポイントです。

＞ (2),(3)の式を単独で恒等式として解いたらs,tが定まらないのに、
＞ ２つを足したら答えになるのがどうも納得いかないのです。

(2) や (3) を、単独で恒等式と考えるということは、
二接線の直交を無視して、
楕円の全ての接線が通る共通点を P としていることになります。
そんな点が存在しますか？

(2) と (3) の k が同じ変数である(二式を連立する)からこそ、
接線が直交することを利用できるのです。

お礼

こんばんは。夜遅くの回答ありがとうございます。

なるほど、仰るとおりです。
もうすこし詳しい記述が必要ですね・・・。

>２式を連立するからこそ接線が直交することを利用できる
そうですね。　言われてみれば当たり前のことです。
自分で何をやっているかわからないまま書いていたのが露呈してしまいました。

よく理解できました。ありがとうございます！

回答No.3

naniwacchi

こんばんわ。
わたしも気になったところがあったので。

＞P(s, t)とおく.
＞直交する２直線のうち１つを m(x-s)+n(y-t)=0 ・・・(1)　とする.
＞この時、任意のm, nに対してs, tは存在すると考えられる.
ここは、次のようなことが言えるだけだと思いました。
「この直線の式は、点P(s, t)を通るあらゆる直線を表すことができる。」

あとの記述で、nの場合分けをして k＝ m/nと置いているので、
結局は点Pを通る傾き：kの直線を考えていることになっていますね。
（質問中では、k＝ n/mとなってしまっていますね。）

式(2)と式(3)の導出はいいと思います。
(2)＋(3)を計算した式をもう少し整理すれば、明らかに s^2+ t^2＝ 3となることが言えますね。

＞任意のkに対してこれは成立するから, kについて恒等式とみて
これは違うと思います。
あくまでも点Pを通る接線を考えているので、
点Pの場所（座標）によって kは定められるはずです。

お礼

夜遅くの回答ありがとうございます。

そうですね・・・　そのとおりです。
mとnを用いたのは、xyどちらの軸にも平行でないことを数式で場合わけしたかったからです。
結局使っているのは確かにｋだけです。

最後の点ですが、僕の書き方が悪かったみたいです。
恒等式として解くのに、どう言葉を使えばよいかが難しくて・・・。

みなさんご指摘ありがとうございました。
また自分でもう一度解答を考えてみたいと思います。

回答No.1

hamu_gorou

確かに変ですけど、大丈夫だと思います。
図形的には、分かりづらいけど、接点ではなく傾きをパラメーターとしてとらえてるだけだと思います。

傾きがkのときの接点が(s, t)と(2)の解で、1/kのときの接点が(3)の解。
イメージできれば良いんですけど。。。

お礼

さっそくの回答ありがとうございます。

(2),(3)の式を単独で恒等式として解いたらs,tが定まらないのに、
２つを足したら答えになるのがどうも納得いかないのです。

その辺も詳しくお教えいただけると嬉しいです。