グリーン関数の応用

質問

ポアソン方程式 △Φ(x) = -s(x) をとくのに、次の方程式 △G(x) = -δ(x) を満たすグリーン関数を用いるのはよく知られていますが、では、シュレディンガーの偏微分方程式

[-(h^2/2m)(∂^2/∂x^2)+V(x)]Φ(x,t) = -ih (∂/∂t) Φ(x,t)

をとくのには、どのような方程式を満たすようにグリーン関数をおくのが賢明でしょうか？
変数tが増えたことによって混乱しています。

よろしくお願いします。。。

回答No.1

gooKWave · ベストアンサー

グリーン関数を使うのは普通は方程式が
非斉次の場合ではないかと思います。

ポアソン方程式を見ると右辺に外源s(x)がありますが、
これを点源δ(x)にしたときの解がグリーン関数です。

シュレーディンガー方程式の場合も同様に、
外源s(x,t)がある非斉次方程式

[H－ih(∂/∂t)]Φ(x,t)＝s(x,t)

の解Φ(x,t)は、次式をみたすグリーン関数G(x,t:x',t')

[H－ih(∂/∂t)]G(x,t:x',t')＝－ihδ(x－x')δ(t－t')

をもちいて

Φ(x,t)＝(i/h)∬dx'dt'G(x,t:x',t')s(x',t')

とあらわせます。

斉次方程式

[H－ih(∂/∂t)]Φ(x,t)＝0

の場合は、同じ斉次方程式

[H－ih(∂/∂t)]K(x,t:x',t')＝0

をみたすファインマン伝搬関数K(x,t:x',t')をもちいて

Φ(x,t)＝∫dx'K(x,t:x',t')Φ(x',t')

とかけます。グリーン関数の時と同じような形ですが
積分が空間だけの点と、積分のなかに外源ではなくてΦ自身
が入っている点がグリーン関数の時と違いますね。

Kに階段関数θをかけたものがGです。

G(x,t:x',t')＝θ(t－t')K(x,t:x',t')

この式をtで偏微分して、K(x,t:x',t)＝δ(x－x')を使えば

[H－ih(∂/∂t)]G(x,t:x',t')＝－ihδ(x－x')δ(t－t')

がただちにでてきます。

お礼

ありがとうございます。おかげでグリーン関数とファインマン伝播関数の違いがわかりました。