行列と数列の関係式に関する問題(立教)

質問

これも今年の立教大学の問題です。特に(iii)以降、よろしくお願いします。

　　l　7　18 |
Ａ= | -3 -8 |　とおく.Ａに対して

　　　　　　　| x[1] |　 | x[n+1] |　　 | x[n] |
　　　　　　　| y[1] |,　| x[n+1] | = Ａ| y[n] |

により座標平面上の点Ｐ[n](x[n],y[n])(n=1,2,…)を定める. このとき, 次の問(i)～
(iv)に答えよ.

(i) P[2], P[3] の座標を求めよ.
(ii) すべての自然数 n について, P[n]が座標平面上のあるひとつの直線 l 上にあるこ
　とを示せ また, 直線 l の方程式を求めよ.
(iii) x[n+1] を x[n] の式で表せ.
(iv) x[n],y[n] を n の式で表せ

回答No.2

alice_44

←No.1 補足
それで ok。

その P[1] が A の固有ベクトルではないことから、
L は、P[1] を通って、
A の 1 でないほうの固有値に対する固有ベクトルを
方向ベクトルに持つ直線になる。

不動直線に関する説明をひと通り書くのが面倒であれば、
上記をコッソリ計算して L の式を求め、
どこから式を思いついたかは伏せて、
P[n] がその直線に乗っていることを
帰納法で示してしまえば済む。

回答No.1

alice_44

漸化式の y[n+1] を x[n+1] と書き間違えたのは、ご愛嬌だとしても、
x[1], y[1] の値を書き落としたのは、ちょっとまずい。
その A は、1 を固有値に持っているために、不動直線がたくさんあり、
P[1] の座標を与えなければ、L は決められない。

補足

申し訳ございません。
x[1]=1,y[1]=0 です。
(ii)は帰納法でy=-x/2+1/2 を証明すればよいのでしょうか。