行列の問題

質問

1.点(x,y)を直線y=√3xに関して対称な点(x',y')に移す１次変換の行列Aを求めよ。この問題がよくわかりません。
問題のとっかかりにまず何をしたらいいのかヒントでもいいのでよろしくお願いします。

2.座標平面上で任意の点P(x,y)を原点のまわりに30°だけ回転させる１次変換を求めよ。また、この変換で次の直線はどんな直線に移されるか。

(1)y=x＋1

(2)y=2x-1

についてなんですが、回転の１次変換はわかります。
どんな直線に移されるのかもおそらくx,yの値を調べて２つの点がどこに移動するか調べ直線の方程式を解けばいいと思うのですが、
いまいち答えの数字になりません。
(1)の答えは(√3＋1)x-(√3-1)y＋2=0
1がわかれば2もわかると思うので1だけでも教えてください

回答No.1

oyamala

1についてですが、単にx',y'をx,yで表すことはできるでしょうか？
方法の１つとして、二つの点の中点が直線y=√3x上にあることと、
二つの点を結ぶ直線が直線y=√3xと直交することを式にして、
その連立方程式を解く方法があります。

それができれば、あとは行列の形にすればいいだけです。
具体的には
x'=ax+by
y'=cx+dy
となれば、(1,1)成分がa,(1,2)成分がb,(2,1)成分がc,(2,2)成分がdの行列が答えになります。

2について

解1)
y=x+1上の点を媒介変数tを用いて、x=t,y=t+1などとして、
点(t,t+1)を変換した点を(x',y')とすると、
x',y'はtの式で表されるので、そのtを消去すれば求める直線が出る。
y=x+1の定義域は任意の実数なので、tも全ての実数を取りうることに注意。

解2)
ここではより一般性を高めるためにθ回転させたときを考えてみます。
一般に(x,y)をθ回転させたとき、回転されたあとの点(x',y')は、
(x') - (cosθ　-sinθ) (x)
(y') - (sinθ　 cosθ) (y) ←行列と思ってください；；

となりますよね、そうすると、逆行列は-θの回転行列ですので
(x) - (cos(-θ) -sin(-θ)) (x')
(y) - (sin(-θ) cos(-θ)) (y')　となり、

(x) - (cosθ sinθ) (x')
(y) - (-sinθ cosθ) (y')　となります。

この(x,y)を回転させる前の式に代入すれば、
回転したあとの点の軌跡が即座に求まり大変便利です。

が、この解は理解せずに使うと危険かもしれませんので、じっくり考えてから使った方がいいかもです。