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証明してください。

図の四角形ABCDはAB<ADの平行四辺形である。∠BADの二等分線と辺BCとの交点をEとするとき、EC+CD=ADとなることを証明しなさい。 考え方、答えを教えてください!

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  • pasocom
  • ベストアンサー率41% (3584/8637)
回答No.5

EC+CD=AD といわれると図からは突飛もない辺に見えますが、平行四辺形ですから、最後のADというのはなんのことはないBCと同じです。そうすると左辺「EC+CD」のCDがBEに等しいことを証明すればいいだけです。(EC+BE=当然BC ですから。) ここで、CDとは上と同じように平行四辺形からABとおなじですね。つまり、AB=BE であることを証明すればいいのです。言い換えれば⊿ABEが二等辺三角形であるということです。 ここまでは、「下ごしらえ」です。 「AB=BEである」とは、角BAEと角AEBが等しいということです。ここで元の図形は平行四辺形ですから角Aと角Cは同じ。また角Bと角Dもおなじですね。しかも角A+角B+角C+角D=360度で、角A+角D=180。また角B+角C=180度です。問題の角BAEは角Aの二等分ですから、角BAEx2+角D=180。よって角BAE=(180-角D)/2 ・・・(1) です。 一方、角AEBについては角AEB+角BAE+角B=180。(三角形の内角の和)ですから、 角AEB+角BAE=180-角B です。ところがこの角B=角D だから、 角AEB+角BAE=180-角D ・・・(2) ということです。 (1)式と(2)式を見れば、角AEB=角BAEであることが見えてきます。

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  • fxq11011
  • ベストアンサー率11% (379/3170)
回答No.4

ABを持ち上げてADに重ねます。 AB+BD=AD AB=CD平行四辺形 BD=EC 上二つを一番上の式に代入(図をながめても分かると思います)

noname#189285
noname#189285
回答No.3

EからAB及びCDに平行な線を引きADとの交点をFとします。 角BAE=角AEFなので、三角形AEFは二等辺三角形と分かります。 従ってAF=EF=CD、またFD=ECなので、 CD+EC=AD 以上です。

  • alice_44
  • ベストアンサー率44% (2109/4759)
回答No.2

Cを通って、ABに平行な補助線を引く。

回答No.1

角AEB は 角DAE の錯角であるため 三角形ABEは Bを頂点とする二等辺三角形 よって、AB=BE=CD である。 EC は BC-BE であるため、EC+CDは (BC-BE)+CD と置き換えられる CD=BE であるから、上の式は BC-BE+BE となり、EC+CD=BCとなる。 平行四辺形であるため、BC=ADであるから、EC+CD=AD となる。

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