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数学 関数
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#1です。 A#1の補足質問の回答 >-(p/2)^2+2p≧3 をどうやったらp^2-8p+12≦0 …(■) にできるのですか? -(p/2)^2+2p≧3 括弧を計算 -(p^2)/4 +2p≧3 4倍して -(p^2)+8p≧12 -1を掛けると不等号の向きが変わるので p^2 -8p≦-12 -12を移項して p^2 -8p+12≦0 (■)の式が導かれました。 基礎的な計算ですからこの位は暗算でできる位にしておいた方が 受験などにはいいですよ。
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- WiredLogic
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問題の解き方自体は、皆さんが説明なさってる通りですので、 2次式・2次関数の最小値の求め方を説明します。 ax^2 + bx + c = a(x+何とか)^2 + かんとか、と変形できて、 xがとる値が実数と決まっていれば、(~)^2 は、必ず0以上なので、 a(x+何とか)^2 は、aがプラスなら、必ず、0以上、aがマイナスなら、必ず0以下、 それで、abの正負によって、式全体は、かんとか以上(または以下)になります。 ポイントは、何とか、や、かんとか、に、xを含んでいてはいけない、ということ。 入っていると、例えば、かんとか以上と答が出ても、そのかんとかが、xの値が 変わると、変わっていくのでは、これが最小値、と特定できません。 この場合、元の式が、f(x) = x^2 - px + 2p ですから、a(x+何とか)^2 の部分を、 x^2 - px の部分を使い切って作ればいい訳です(でないと、かんとかにxが入る)。 特に、この場合、aが1(正の数)なので、計算は簡単。 (x+d)^2 = x^2 + 2dx + d^2 を考えて、x^2 - px と比べると、2d と -p が同じで ないと困るので、d = -p/2。すると、(x-p/2)^2 = x^2 - px + (p/2)^2 となって、 x^2 - px の部分は、解決、ただ、これだと、(p/2)^2 の部分を足しすぎているので、 x^2 - px = {x^2 - px + (p/2)^2} - (p/2)^2 = (x - p/2)^2 - (p/2)^2、 これで、x^2 - px + 2p = (x - p/2)^2 - p^2/4 + 2p と、皆さんが指摘された式が でてくる訳です。2乗のことを平方ともいうので、この2乗の形をつくる手法のことを 「平方完成」といいます。2次方程式の解の公式を導き出したり、2次関数の、頂点 や軸、最大・最小などを求めたりするのに、必要な手法ですから、教科書などでも よく確認して、身に付けてください。できれば、名前ごと。
No. 2です。やってしまいました。 「3より小さくならないように」ですから、最小値は3「以上」、つまり、-(p^2)/4 + 2p >= 3 ですね。No. 1さんが正しいです。
(前置き: しつこいようですが、「xの二乗」は x^2 と書きましょう。) f(x) = (x - p/2)^2 - (p^2)/4 + 2p と変形できる。 (x - p/2)^2 >= 0 であるから、f(x)の最小値が3より小さくならないためには、 - (p^2)/4 + 2p > 3 であるような p の範囲を求めればよい。 この不等式は (p-2)(p-6) < 0 と変形できるので、求める p の範囲は 2 < p < 6。
- info22_
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y=f(x)=(x-p/2)^2-(p/2)^2+2p≧3 となるようにすればよい。 最小値がf(p/2)=-(p/2)^2+2p≧3 と定数pを定めればよい。 このpの不等式 -(p/2)^2+2p≧3 を解けばpの範囲が求められます。 不等式を整理すると p^2-8p+12≦0 (p-2)(p-6)≦0 これからpの範囲が求まります。 この不等式の答えは分かりますね。
お礼
回答ありがとうございます。 -(p/2)^2+2p≧3 をどうやったらp^2-8p+12≦0 にできるのですか?
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お礼
回答ありがとうございます。 どうやったらf(x) = (x - p/2)^2 - (p^2)/4 + 2p と変形できるのですか?(>_<)