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数学の問題(超超超難しい)
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- Kules
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一体何をもって「超超超難しい」と言ってるんだろうと思ってたら (3)が若干めんどくさそうですね。 とりあえず考える過程は書きますが、答えは自分で計算して下さい。 まず、問題を見渡して感じることを書きます。 ・絶対値か~絶対値の中身が正か負かで場合分けするんだろうなあ。 ・3次関数ってことは微分して増減表とか書くんだろうなあ。 ・関数の最小値ってのは範囲の端(右端か左端)か極小値しかなりえないよな。3次関数ってことは極小値もあるだろうから、それが範囲に入っているかどうかが大事なんだろうな。 問題に行きます。 (1)f(x)が増加することはf'(x)がx>aで0以上ってことが言えたらいいだろうな。x>aなら絶対値は問題なく外せるし、絶対値外して微分して因数分解だろうな。 (2)(1)でx>aの時に増加することはわかってるから、x<aの時を考えればいいだろうな。 x<aの時も絶対値の外し方は1通りしかないし、それで微分して因数分解したら、f'(x)が負になるところがあるんだろうな。ということは、f(x)が単調減少するところがPからQだとして、Pより左側にaがあれば単調減少の部分がなくなるな (イメージすれば、aが十分大きいとき(Qより大きい)x<Pで単調増加、P<x<Qで単調減少、Q<xで単調増加だから、aばPより小さければずっと単調増加になるな) (3)単調増加している時は範囲の左端が最小値なので、a<Pなら最小値はx=-1の時だな。 aがPとQの間だと、x<Pで単調増加、P<x<aで単調減少、a<xで単調増加だから、最小値はx=aの時だな。あ、ただaと-1の位置関係によってはこうならないかもしれないな(a<-1ってのがないか考慮する必要があるな)Q<aならQが極小値なので、最小値はx=Qの時だな。 (4)(3)で求めた式からaの範囲ごとに最小値を出して、その中の最小値を出せばいいか。ただ、もうちょっと簡単に出せるかもな。 ここまでが手を一切動かさずに私が考えたことです。実際にこれで計算できるかどうかは後で確かめることになります。 ただ、(これはちょっとだけ答えになってしまうのですが)ちょこっと計算してみたらP=-1となりそうなので、(3)の議論は少し楽になりそうです。 参考になれば幸いです。
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