大学の応用数学がわかりません。教えてください。

質問

画像に添付した２つの問題が解けません。（3）についてはフーリエ積分のこともよくわかっていないので教えてほしいです。
（4）にていては　u=X（x）*T（t）　とおいてから解くそうなので

u=X（x）*T（t）とおくと
(A)より
X(x)*T'(t)=kX''(x)*T(t)
よって
T'(t)/T(t)=kX''(x)/X(x) = a (aは定数 とする)
∴
T'(t)-aT(t)=0
kX'(x)-aX(8)=0
(B)より
X(0)*T(t)=X'(x)*T(t)
∴
X(0)=X'(l)
(C)より
X(x)*T(0)=f(x)
というような感じにはできると思うのですが…続きがまったくわかりません

ほかの問題で
　u=u(x,y)とする
　Δu=uxx＋uyy=0　　　、0<x<a、0<y<b　　－(A)
　u(0,y)=0、u(a,y)=0　　 、0≦y≦b　　　　　－(B)
　u(x,0)=f(x)、u(x,b)=0　 、0≦x≦a　　　　　－(C)
という問題があるのですが
その問題の答えが
u＝(2/(1-e^(2nπb/a))*(∫（0からaまで）(f(x)*sin(nπx/a))dx)*(e^(nπy/a)-e^((2nπb/a)-(nπy/a)))
という答えだそうなので　画像の問題も同じような形にはなると思うのですが…

お願いします　教えてください。

回答No.1

muturajcp

3
(1)
x≧0→f+(x)=f(x)=e^{-x}cosx
x<0→f+(x)=f+(-x)=(e^x)cosx
F(x)={1/√(2π)}∫_{-∞～∞}f+(u)e^{-ixu}du
={1/√(2π)}∫_{-∞～0}(cosu)e^{u-ixu}du+{1/√(2π)}∫_{0～∞}(cosu)e^{-u-ixu}du
={1/√(2π)}[1/(x^2+2x+2)+1/(x^2-2x+2)]

f+(x)={1/(2π)}∫_{-∞～∞}[1/(a^2+2a+2)+1/(a^2-2a+2)]e^{iax}da
={1/π}∫_{0～∞}[1/(a^2+2a+2)+1/(a^2-2a+2)]cos(ax)da

(2)
x≧0→f-(x)=f(x)=e^{-x}cosx
x<0→f-(x)=-f-(-x)=(-e^x)cosx
F(x)={1/√(2π)}∫_{-∞～∞}f-(u)e^{-ixu}du
={1/√(2π)}∫_{0～∞}(cosu)e^{-u-ixu}du-{1/√(2π)}∫_{-∞～0}(cosu)e^{u-ixu}du
={-i/√(2π)}[(x+1)/(x^2+2x+1)+(x-1)/(x^2-2x+1)]

f-(x)={1/(2π)}∫_{-∞～∞}[(a+1)/(a^2+2a+2)+(a-1)/(a^2-2a+2)](-i)e^{i(ax)}da
={1/π}∫_{0～∞}[(a+1)/(a^2+2a+2)+(a-1)/(a^2-2a+2)]sin(ax)da

(3)
x≧0→f(x)=e^{-x}cosx
x<0→f(x)=0
F(x)={1/√(2π)}∫_{-∞～∞}f(u)e^{-ixu}du
={1/√(2π)}∫_{0～∞}(cosu)e^{-u(1+ix)}du
={1/√(2π)}([1/{1+i(x-1)}]+[1/{1+i(x+1)}])/2
={1/√(2π)}(x^2+2-ix^3)/[{1+(x+1)^2}{1+(x-1)^2}]

f(x)={1/(2π)}∫_{-∞～∞}{(a^2+2-ia^3)e^{i(ax)}/[{1+(a+1)^2}{1+(a-1)^2}]}da
=(1/π)[∫_{0～∞}([{(a^2+2)cos(ax)}+{(a^3)sin(ax)}]/[{1+(a+1)^2}{1+(a-1)^2}])da

4
u=X(x)T(t)
X(x)T'(t)=kX"(x)T(t)
T'(t)/T(t)=kX"(x)/X(x)=a
T'(t)/T(t)=a
↓両辺をtで積分すると
∫{T'(t)/T(t)}dt=log{T(t)}=a∫dt=at+c4
→T(t)=e^{at+c4}=c3*e^{at}

kX"(x)/X(x)=a
→X"(x)-(a/k)X(x)=0
↓D=(d/dx)とすると
(D^2-(a/k))X(x)=0
↓微分方程式
{D+√(a/k)}{D-√(a/k)}X(x)=0
↓の一般解は
X(x)=c1e^{x√(a/k)}+c2e^{-x√(a/k)}
(B)の第2式より
u_x(l,t)=X'(l)T(t)=0→X'(l)=0だから
→X'(l)=c1√(a/k)e^{l√(a/k)}-c2√(a/k)e^{-l√(a/k)}=0
→c1e^{2l√(a/k)}=c2
→X(x)=c1(e^{x√(a/k)}+e^{(2l-x)√(a/k)})
(B)の第1式より
u(0,t)=X(0)T(t)=0→X(0)=0だから
→X(0)=c1(1+e^{2l√(a/k)})=0
→e^{2l√(a/k)}=-1
→a<0
→e^{i2l√(-a/k)}=-1
→cos(2l√(-a/k))+isin(2l√(-a/k))=-1
↓nを任意の整数とすると
2l√(-a/k)=(2n+1)π
→√(-a/k)=(2n+1)π/(2l)
→a=-k{(2n+1)π/(2l)}^2
→X(x)=c1*sin(x(2n+1)π/(2l))

T(t)=c3*e^{at}=c3*e^[-k{(2n+1)π/(2l)}^2]
↓c=c1*c3とすると
u(x,t)=X(x)T(t)=c*e^[-tk{(2n+1)π/(2l)}^2]sin(x(2n+1)π/(2l))

お礼

回答ありがとうございました。
本当に助かりました。感謝します。m(_ _)m