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代数学の質問です。
この問題を詳しい解説付きで解いてもらいたいです。（１つだけでもかまいませんのでよろしく御願いします） １．Rを環とする。f,gを環準同型写像Q→Rとする。f=gを示せ。 ２．Z[X]はPIDか？ ３．整域の標数は０または素数であることを示せ。 ４．Ｆ５[X]∋X3乗＋X+1は既約元であることを示せ。
- futoshiiiii
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補足質問「問題３で、なぜ整域であることに反するのかが分かりません」 ⇒ 整域とは、0以外に零因子を持たない環のことです。m≠0、n≠0、mn＝0 なら、mとnが0でない零因子になります。
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- ramayana
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問題１ （１） Qの説明がありません。有理数体と解釈することにします。 （２） Rには、単位元の存在も可換性も仮定しないことにしますが、最低限、次の仮定を置く必要があります。 「f(1)とg(1)は、どちらも零因子でない」 そうでなければ、次のような反例があります：RをQとQの直和として、f(x)=(x,0)、g(x) = (0,x) （３） 証明 [1] f(1) = g(1)であること (f(1) –f(1) g(1)) g(1)=f(1)g(1) - f(1)g(1・1) = f(1)g(1) – f(1)g(1) = 0 g(1)が零因子でないので、f(1) = f(1)g(1) f(1)(g(1) –f(1) g(1))=f(1)g(1) - f(1・1)g(1) = f(1)g(1) – f(1)g(1) = 0 f(1)が零因子でないので、g(1) = f(1)g(1) 以上により、f(1) = g(1) [2] Qは、1によって生成される体なので、[1]により、f(x) = g(x) （xはQの任意の元）を得る。 問題２ Z[X]はPIDでない。{2,X}で生成されるイデアルは、単項イデアルでない。 問題３ 標数をmnとすると、m≠0、n≠0、mn＝0 となって、整域であることに反する。 問題４ g(X) = X^3+X+1が因数分解できたとすると、一次式の因子を含む必要がある。よって、g(X)は、F5内に根を持たねばならない。 一方、g(X)のXに0,1,2,3,4のどれを代入しても0にならない。 以上により、g(X)は既約
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ものすごい分かりやすい回答でした！
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問題３で、なぜ整域であることに反するのかが分かりません。
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お礼
本当に助かりました！ありがとうございました！！！