Cl－イオンの半径 NaClの結合エネルギー

質問

分からない問題があります。

1モルのNa+イオンとCl-イオンから1モルのNaClが生成するときのイオン間距離r（Å）と系のエネルギーEの関係は、各イオンが無限の距離にあるときの系のエネルギーを0とすると、次の式で表せる。
E(Nacl)=-1.39×10*3/r + 1.59×10*6/r*10

この式で第一項はNa+イオンとCl-イオンが接近したときにクーロン引力により系が安定するエネルギー
第二項はNa+イオンとCl-イオンが接近したときにイオン間電子反発により系が不安定化するエネルギー

問題1～3で、第一項、第二項それぞれにr=1.0, 1.5, 2.0, 2.2, 2.5, 2.8, 3.0, 4.0, 5.0, 7.0, 10.0 (Å)をそれぞれ代入して、最後にEを求めろとあります。

その後の問題で、上記の結果に基づいて、Na+イオン半径が0.97Åの時のCl-のイオン半径の値、
NaClの結合エネルギーの値、水の誘電係数が80の時のNaClの水中における結合エネルギーの値をそれぞれ求めろとありますが、この3問がわかりません。

説明が下手で申しわけありませんが、どなたか回答をよろしくお願いします。

回答No.2

okormazd · ベストアンサー

#1です。

「r2が求まり、これを(3)式に入れれば、結合エネルギーが求まるはずです。」

と、書いたが、これでは、εの値が必要になるね。比誘電率ε_rだけから求めるには、以下のようにする。

E1=A/(ε_0*r1)+B/r1^10
E2=A/(ε*r2)+B/r2^10

として、

E1-B/r1^10=A/(ε_0*r1)
E2-B/r2^10=A/(ε*r2)

だから、辺々比をとって、

(E1-B/r1^10)/(E2-B/r2^10)=(A/(ε_0*r1))/(A/(ε*r2))=ε/ε_0*r2/r1=ε_r*r2/r1

で、

E2=1/ε_r*r1/r2*(E1-B/r1^10)+B/r2^10=1/80*r1/r2*(E1-B/r1^10)+B/r2^10

を計算すれば、ε_0、εの値はいらない。

お礼

回答ありがとうございます。
確かに式が間違っていました。
申しわけありませんでした。

回答No.1

okormazd

なかなか回答が付かないでしょう。
どうしてかわかりますか。
こういう質問が良くありますが、
回答が付かないのは、質問が難しいわけではないのです。
質問がいい加減で不正確だからなのですよ。

E(Nacl)=-1.39×10*3/r + 1.59×10*6/r*10

この式ではどうしようもありません。回答のしようがないのです。
記号の単位もありませんし、もっと正確に丁寧に書いたらどうでしようね。

どこから持ってきた式かは知りませんが

E(Nacl)=-1.39×10^3/r + 1.59×10^6/r^10　・・・・(1)

ではありませんか。これなら、なんとかなりますが。

「第一項、第二項それぞれにr=1.0, 1.5, 2.0, 2.2, 2.5, 2.8, 3.0, 4.0, 5.0, 7.0, 10.0 (Å)をそれぞれ代入して、最後にEを求めろとあります。」
求めればいいじゃないですか。むずかしい計算ではないですよ。それだけのことです。Excelなどを使えば、簡単にできて、グラフもかけて便利です。

要するに、エネルギー(ポテンシャル)が最低のところが安定した結晶(この場合は結晶じゃないかもしれない)をつくっている結合距離で、そのときのエネルギーが、結合エネルギーというわけだ。だから、ちゃんと計算すればわかる。

「Na+イオン半径が0.97Åの時のCl-のイオン半径の値」
ここでも質問がいい加減なところがあって、たぶん、安定なときのイオン半径を求めろということでとょう。

安定な結合距離がわかれば、片方がわかればもう片方は引き算でわかる。

「水の誘電係数が80の時のNaClの水中における結合エネルギーの値」
「誘電係数」というのはあまり聞かないが、ここでは比誘電率のことではないか。、クーロン力に誘電率が関係するというのはどこかで学んだでしょう。

クーロン力は誘電率εに反比例する。
(1)式は、真空(空気中でもほぼ同じ)中での話だろうから、その誘電率をε0とすれば、

E=A/(ε_0r)+B/r^10　・・・・(2)

とかける。A/ε0=-1.39×10^3、B=1.59×10^6/r^10というわけです。ε0は物理定数だからAを求めようとすれば求められます。必要なら調べればいい。

ここでは、水にNaClを溶解したときにも結晶のようになっていれば、そのときの結合エネルギーを求めろと言っている。
水中では、　

E=A/(εr)+B/r^10　・・・・(3)

比誘電率ε_r=ε/ε_0=80だから、ε=ε_0*ε_rでεも求められます。

(ε_rのrは添え字、εrはε*r)

まえに、エネルギー最低(極小)で安定し、そのときのエネルギーを結合エネルギーといったが、それを求めるには、(2)式を微分して０としたときのrが結合距離で、そのときのエネルギーが結合エネルギーだということは、高校の数学です。

で、
(2)を微分して０とおいて、r=r1を求めると、r1=(10Bε_0/A)^(1/9)
((1)を微分して求めたのと、r=1.0,1.5,2.0・・・で求めたのと比べてみるといい)

だから、
(3)は、ε_0がεに代わっただけだから、r=r2を求めると、r2=(10Bε/A)^(1/9)
結局、
r2/r1=(ε/ε_0)^(1/9)=(ε_r)^(1/9)
で、
r2=(ε_r)^(1/9)*r1=80^(1/9)*r1
で、前に計算した、r1からr2が求まり、これを(3)式に入れれば、結合エネルギーが求まるはずです。

なお、
r=2.5, 2.8, 3.0, 4.0, 4.2, 4.4,4.6,4.8,5.0,10.0(Å)を(3)式に入れてEを計算して、極小値を求めることも当然できます。

うまく計算できないかもしれないから、親切にも答えらしきものを書いておこう。

rを入れた計算で、
r=2.8で極小、E=-443 (単位は知らない)

Cl-半径　1.83A゜

水中
r=4.6
E=-3.4